Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв'язані відносно похідної




0.49 Mb.
НазваРозділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв'язані відносно похідної
Сторінка1/4
Дата конвертації09.10.2012
Розмір0.49 Mb.
ТипДокументы
Зміст
Рівняння з відокремлюваними змінними
Однорідні і узагальнено-однорідні диференціальні рівняння.
Лінійні рівняння першого порядку
2.7. Рівняння Рікатті
2.8. Рівняння в повних диференціалах
2.9. Інтегрувальний множник. Теореми про існування, неєдиність та загальний вигляд інтегрувального множника
  1   2   3   4
Розділ 2. Диференціальні рівняння першого порядку, розв'язані відносно похідної

  1. Поняття диференціального рівняння, його порядок

Означення 2.1. Рівняння вигляду

(2.1)

називається диференціальним рівнянням (наявність похідних тут обов’язкова).

Означення 2.2.Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння (2.1) називається порядком диференціального рівняння.

Означення 2.3.Функція називається розв’язком (або інтегралом) диференціального рівняння (2.1), якщо вона n-раз неперервно диференційовна на деякому інтервалі і задовольняє диференціальному рівнянню (2.1) .

Приклад 2.1. – диференціальне рівняння другого порядку.

При диференціальне рівняння (2.1) називається диференціальним рівнянням першого порядку і записується таким чином

. (2.2)

Диференціальне рівняння (2.2) називається розв’язаним відносно похідної, якщо його можна представити у вигляді

. (2.3)

Припускаємо, що однозначна і неперервна в деякій області D змінних x,y. Цю область називають областю визначення диференціального рівняння (2.3).

Якщо в деякій області функція перетворюється в , то в цій області розглядають диференціальне рівняння

.

Множину таких точок, а також тих, в яких не визначена, але може бути довизначена до неперервності, будемо приєднувати до області визначення диференціального рівняння (2.3).

Поряд з (2.3) будемо розглядати еквівалентне диференціальне рівняння, записане в диференціалах

(2.4)

або в більш загальному виді

. (2.5)

Інколи розглядатимемо диференціальне рівняння в симетричній формі

. (2.6)

Функції будемо вважати неперервними в деякій області.

Означення 2.4.Розв’язком диференціального рівняння (2.3) на інтервалі І назвемо функцію , визначену і неперервно диференційовну на І, яка не виходить з області означення функції і яка перетворює диференціальне рівняння (2.3) в тотожність , тобто

.

В цьому випадку називається розв’язком, записаним в явній формі (вигляді).

Процес знаходження розв’язку диференціального рівняння називається інтегруванням.

Не завжди можна отримати розв’язок в явному вигляді.

Означення 2.5.Будемо говорити, що рівняння

(2.7)

визначає в неявній формі розв’язок диференціального рівняння (2.3), якщо воно визначає , яка є розв’язком диференціального рівняння (2.3).

При цьому на розв’язках диференціального рівняння (2.3) виконується

. (2.8)

Означення 2.6.Будемо говорити, що співвідношення

(1.9)

визначають розв’язок диференціального рівняння (2.3) в параметричній формі на інтервалі , якщо

. (2.10)

  1. Задача Коші

Розглянемо диференціальне рівняння (2.3). Задача Коші заключається в тому, щоб серед всіх розв’язків диференціального рівняння (2.3) знайти такий , який проходить через задану точку

. (2.11)

Тут - початкове значення незалежної змінної, - функції.

Розв’язати задачу Коші з геометричної точки зору означає (мал. 2.1): знайти серед усіх інтегральних кривих диференціального рівняння (2.3) ту, яка проходить через задану точку .

У0

Мал. 2.1.

Означення 2.7. Будемо говорити, що задача Коші (2.3), (2.11) має єдиний розв’язок, якщо число h>0, що на відрізку визначений розв’язок такий, що і не існує другого розв’язку, визначеного в цьому ж інтервалі і не співпадаючого з розв’язком хоча б в одній точці інтервалу , відмінній від точки .

Якщо задача Коші (2.3), (2.11) має не один розв’язок або ж зовсім його не має, то говорять, що в точці порушується єдиність розв’язку задачі Коші.

При постановці задачі Коші ми припускаємо, що - обмежені числа, а диференціальне рівняння (2.3) в точці задає деякий напрямок поля, який не паралельний осі ОУ.

Якщо права частина диференціального рівняння (2.3) в точці М приймає нескінченне значення, необхідно розглянути диференціальне рівняння (2.3) і знайти розв’язок (мал. 2.2).


  1   2   3   4

Схожі:

Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв\Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, не розвязяні відносно похідної

Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв\Лекція 2 Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані
Означення Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння 1 називається порядком диференціального рівняння
Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв\Питання з курсу “Диференціальні рівняння” (спеціальність – прикладна математика)
Загальні визначення понять диференціальних рівнянь першого порядку. Поняття розв’язку, загального розв’язку, інтегралу диференціального...
Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв\Диференціальні рівняння першого порядку, диференціальні рівняння вищого порядку, лінійні диференціальні рівняння, системи диференціальних рівнянь
Наведемо декілька основних визначень теорії диференціальних рівнянь, що будуть використовуватися надалі
Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв\Задача Розв’язати задачу Коші..... 10
...
Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв\Тип модуля: обов’язковий Семестр: II обсяг модуля
Числові ряди та їх властивості. Знакозмінні ряди. Знакопочережні ряди. Функціональні ряди та рівномірна збіжність. Степеневі ряди...
Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв\Розділ Диференціальні рівняння вищих порядків
Основні поняття та означення. Динамічна інтерпретація диференціальних рівняння другого порядку. Консервативні системи
Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв\Змістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння
Лндр другого порядку зі сталими коефіцієнтами І право частиною спеціального вигляду
Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв\Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку
За рахунок вибору довільних сталих С1, С2 можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в знаходженні частинного розв’язку у = у(Х) др,...
Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв\«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей
Методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни «Вища математика» на тему «Диференціальні рівняння, що допускають зниження...
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка