Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Реферат лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту




120.4 Kb.
НазваРеферат лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту
Дата конвертації09.10.2012
Розмір120.4 Kb.
ТипРеферат
Зміст
Загальна характеристика роботи
Мета і задачі дослідження.
Об’єктом дослідження
Методи дослідження.
Наукова новизна одержаних результатів.
Практичне значення одержаних результатів.
Апробація результатів дослідження.
Основний зміст роботи
У першому розділі
Другий розділ


Міністерство освіти і науки,

МОЛОДІ ТА СПОРТУ України
КІРОВОГРАДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ

УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ВОЛОДИМИРА ВИННИЧЕНКА

РЕФЕРАТ
ЛІНІЙНА СИСТЕМА ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

З ТОЧКОЮ ЗВОРОТУ

(цикл наукових праць на здобуття щорічної премії
Президента України для молодих вчених)

Ключник Інна Геннадіївна кандидат фізико-математичних наук,

старший викладач кафедри

математики

Кіровоградського державного педагогічного університету імені Володимира Винниченка

Кіровоград – 2012

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Найбільш ефективними методами дослідження нелінійних коливань є асимптотичні методи, які описані в працях М.М. Боголюбова, Ю.А. Митропольского, А.М. Самойленка. Методи асимптотичного інтегрування, що застосовуються до диференціальних рівнянь з імпульсним впливом розроблені в працях Ю.А. Митропольского, А.М. Самойленка, М.О. Перестюка та ін.

В працях В.Ф. Бутузова, А.Б. Васильєвої запропоновано метод асимптотичного інтегрування початкової задачі для нелінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних.

С.А. Ломовим запропоновано метод інтегрування лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь. В працях С.Ф. Фещенка, М.І. Шкіля розглядається метод інтегрування диференціальних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами. Вивченню систем диференціальних рівнянь з тотожно виродженою матрицею при похідній присвячені праці В.А. Єременка, Г.С. Жукової, А.М. Самойленка, В.П. Яковця.

В працях М.І. Шкіля та Г.В. Завізіона пропонується метод побудови загального асимптотичного розв’язку сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із виродженою в точці матрицею при похідній.

В працях А.М. Самойленка, В.Г. Самойленка вперше побудовані асимптотичні розв’язки нелінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь при наявності імпульсного впливу. Метод усереднення для багаточастотних систем з повільно змінними частотами з імпульсною дією обгрунтували А.М. Самойленко, Р.І. Петришин.

Різноманітні прикладні задачі приводять до систем сингулярно збурених диференціальних рівнянь з точками звороту. Один із перших методів дослідження диференціального рівняння другого порядку з великим параметром і точкою звороту полягає у використанні методу ВКБ поза околом точки звороту і зшивання його з розв’язками рівняння Ейрі. Метод запропонований М.В. Федорюком дозволяє обійти точку звороту, виходячи в комплексну площину.

Для рівняння другого порядку з великим параметром і простою точкою звороту Р. Лангером отримане нульове наближення розв’язку, яке визначене в точці звороту. Ідея побудови наближення полягає в тому, що приблизно однакові рівняння мають приблизно однакові розв’язки і за допомогою введення перетворення незалежної та залежної змінної задане рівняння зводиться до рівняння Ейрі, для якого відома фундаментальна система розв’язків. При знаходженні кожного вищого наближення Р. Лангер пов’язує розв’язок заданого рівняння з розв’язком, деякої більш простої задачі зі схожою структурою, який можна записати в трансцендентних функціях. Т. Черрі модифікував перетворення Ф. Лангера таким чином, щоб за допомогою нього можна було знайти будь-яке наближення розв’язку рівняння другого порядку з великим параметром з точкою звороту.

Ф. Олвер асимптотичні наближення розв’язку рівняння з великим параметром і простою точкою звороту шукає у вигляді лінійної комбінації функцій Ейрі і її похідної з коефіцієнтами, які є формальними рядами за степенями параметру.

А. Найфе використав перетворення Р. Лангера при побудові розв’язку рівняння другого порядку з великим параметром і кратною точкою звороту і звів задане рівняння до рівняння Ейрі. Р. Маккельві виразив асимптотичні розв’язки з великим параметром і точкою звороту другого порядку через функції Уіттекера. Для кратної точки звороту А.А. Дородніцин побудував фундаментальну систему розв’язків рівняння Ейрі зі спеціальними початковими умовами.

Для диференціального рівняння другого порядку з великим параметром і з двома точками звороту А. Найфе будує наближений розв’язок використовуючи функції Ейрі, для цього застосовує перетворення Р. Лангера в околі кожної точки звороту, а потім зшиває ці розв’язки. Р. Лангером запропоновано метод побудови такої задачі за допомогою одного рівномірного розвинення в термінах функцій параболічного циліндра.

Р. Кларк досліджує неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з простою точкою звороту використовуючи функції Ломмеля. Для неоднорідного сингулярного збуреного диференціального рівняння другого порядку з кратною точкою звороту С.Ю. Дзядиком побудоване рівномірне асимптотичне розвинення за допомогою спеціальних функцій сплеску.

Нульове наближення розв’язку рівняння Орра-Зоммерфельда одержано В. Вазовим, а в працях С. Ліна одержане довільне рівномірне наближення розв’язку цього рівняння. М.О. Перестюком запропоновано метод побудови рівномірного асимптотичного розвинення рівняння Орра-Зоммерфельда, з використанням функцій Ейрі – Дородніцина.

М. Конно розглядає канонічне диференціальне рівняння парного порядку вище двох з простою точкою звороту. Для якого побудовано фундаментальну систему розв’язків, які виражаються через спеціальні функції і які співпадають з функціями Ейрі для диференціального рівняння другого порядку.

В. Вазовим запропоновано зведення сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з простою точкою звороту до системи з матрицею рівняння Ейрі, для якої відома фундаментальна система розв’язків.

М.І. Шкілем вказані достатні умови існування асимптотичного розв’язку в елементарних функціях сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з простою точкою звороту. В запропонованому методі інтегрування коефіцієнти розвинень асимптотичного розв’язку залежать від параметру і є обмеженими при прямуванні параметру до нуля.

А.М. Самойленком вперше запропоновано асимптотичний метод інтегрування для системи лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту, причому система містить матрицю рівняння Ейрі. Згідно цього методу, розглядувана система зводиться до системи, елементи якої і матриця перетворення є формальними рядами за степенями параметру. Знаходження розв’язку цієї системи зводиться до розв’язування сингулярно збуреного інтегро – диференціального рівняння другого порядка за допомогою степеневих рядів. А. М. Самойленком також запропонована гіпотеза про те, що можна звести задану систему лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту до канонічної форми, в якій матриці залежні від параметру є визначеними і нескінченно диференційовними. При цьому матриця перетворення буде нескінченно диференційовна за дійсними незалежною змінною і параметром.

Не досліджуваним та актуальним є питання про побудову асимптотичного методу інтегрування лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з квадратною матрицею порядку вище двох і простою точкою звороту. Актуальним є зведення розглядуваної системи до канонічної форми і знаходження розв’язку одержаної системи. Також актуальним є доведення нескінченної диференційовності залежних від параметру матриць, які входять в одержану систему при дійсних значеннях малого параметру та доведення нескінченної диференційовності матриці перетворення за дійсними незалежною змінною і параметром.

Мета і задачі дослідження. Метою наукової праці є розвиток асимптотичного методу інтегрування системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту; зведення системи диференціальних рівнянь з точкою звороту до системи канонічної форми і знаходження розв’язку одержаної системи, та вивчення властивостей матриці перетворення.

Об’єктом дослідження є лінійна система диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту.

Предметом дослідження є лінійні системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту.

Методи дослідження. В даній роботі застосовується асимптотичний метод інтегрування системи з малим параметром при частині похідних з точкою звороту запропонований А.М. Самойленком, метод побудови асимптотичних розв'язків системи з точкою звороту запропонований В. Вазовим.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати цієї праці є новими. У ній вперше:

– запропоновано асимптотичний метод інтегрування системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних p+m-го порядку, яка містить просту точку звороту при ;

– запропоновано зведення системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту до системи канонічної форми і отримано спосіб знаходження її розв'язку за допомогою сингулярно збуреної системи інтегро – диференціальних рівнянь m-го порядку;

– доведено нескінченну диференційовність залежних від параметру матриць, які входять в систему канонічної форми при дійсних значеннях малого параметра та доведено нескінченну диференційовність матриці перетворення за дійсними незалежною змінною і параметром в деяких інтервалах.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дослідження мають в основному теоретичний характер. Результати отримані в роботі можуть бути використані, як при подальшому розвитку загальної теорії систем з малим параметром при похідній, так і при дослідженні задач оптимального керування, різних математичних моделей та ін.

Апробація результатів дослідження. Результати наукової праці доповідалися та обговорювалися на: Українському математичному конгресі – 2009 (26 – 29 серпня 2009 р., м. Київ); науковому семінарі відділу диференціальних рівнянь і теорії коливань інституту математики НАН України (керівник: академік НАН України А.М. Самойленко); науковому семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівники: академік НАН України А.М. Самойленко, академік НАН України М.О. Перестюк); звітних наукових конференціях викладачів КДПУ ім. Володимира Винниченка (2008 – 2010 рр.);

науково-практичній конференції, присв’яченій 80-річчю фізико-математичного факультету КДПУ ім. В. Винниченка.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та задачі дослідження, проаналізовано сучасний стан проблеми, наведено основні результати дослідження, визначено їх новизну і практичне значення, зазначено особистий внесок автора, апробацію результатів дослідження.

У першому розділі проаналізовано праці з математичної теорії та розвитку асимптотичних методів нелінійних коливань, асимптотичних методів сингулярно збурених диференціальних рівнянь, з розвитку асимптотичного інтегрування задач з точками звороту. Розглянуто особливості дослідження лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з точкою звороту. Показано актуальність і важливість досліджень проведених у науковій праці.

Другий розділ наукової роботи присвячений асимптотичному інтегруванню системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних у випадках простої точки звороту. А також у другому розділі пропонується зведення вказаних систем до канонічної форми, доведення нескінченної диференційовності матриць зведеної системи і матриці перетворення за параметром, та отримано спосіб знаходження розв'язку у вигляді границі збіжної послідовності ітерацій.

У підрозділі 2.1 доводяться леми про вигляд та властивості розв'язків сингулярно збуреного матричного диференціального рівняння довільного порядку з точкою звороту і матрицею рівняння Ейрі; будується матриця, у вигляді збіжного функціонального ряду, яка має асимптотичним розвиненням заданий формальний ряд і є нескінченно диференційовною за дійсними незалежною змінною і параметром; для квадратної матриці довільного порядку, для якої виконуються умови задачі з простою точкаю звороту, будується нескінченно диференційовна матриця перетворення і доводяться властивості заданої матриці і її похідних; будується голоморфний розв’язок системи диференціальних рівнянь з регулярною особливою точкою.

У підрозділі 2.2 розглядається система лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з простою точкою звороту вигляду



, (1)

де голоморфні матриці при малий дійсний параметр, , матриця вигляду

(2)

де нільпотентна матриця, матриця з єдиним ненульовим елементом

Будемо вважати, що



так як цього можна досягнути за допомогою перетворень



Доведено теорему.

Теорема 2.1. Існує формальний ряд

(3)

з голоморфними коефіцієнтами при і , що формальне перетворення

(4)

зводить систему (1) до системи вигляду

, (5)



де

, . (6)

Знаходження розв’язку системи (5) зводиться до розв’язування інтегро-диференціального рівняння m – го порядку відносно першої компоненти вектора ,



загальний розв’язок якого зображається у вигляді степеневих рядів.

У пункті 2.2.2 система (1) зводиться до системи канонічної форми, вигляду

(7)

,

в якій матриці , визначаються рівностями

, ,

де , , ,

, є коефіцієнти при в розвиненні відповідно раціональних функцій

, ,

за зростаючими степенями ,

,

Доведено лему.

Лема 2.1. Матричні ряди, які визначають , , є рівномірно збіжними при . Матричні функції , є нескінченно диференційовні і

, , .

Доводиться теорема 2.2.2 в якій вказується ітераційний спосіб знаходження розв’язку системи (7).
Теорема 2.2. Якщо виконується нерівність

(8)

то розв’язок рівняння



є нескінченно диференційовним за дійсними змінними в області , , при цьому матриця, що залежить від .

Формальна матриця (3), є рівномірним при асимптотичним розвиненням при матриці .

У пункті 2.2.4 пропонується спосіб асимптотичного інтегрування системи (1) з простою точкою звороту, яка містить матрицю вигляду

, (9)

в якій ненульові елементи матриці визначаються з рівності



Доведено теорему.

Теорема 2.3. Нехай матриці, системи рівнянь (1) з матрицею вигляду (9), голоморфні в області Тоді існує формальний ряд (3) з голоморфними коефіцієнтами при і , що формальне перетворення (4) зводить систему (1) до системи вигляду (5), (6). Знаходження розв’язку системи (5) зводиться до розв’язування інтегро-диференціального рівняння m – го порядку відносно першої компоненти вектора ,





загальний розв’язок якого зображається у вигляді степеневих рядів.

ВИСНОВКИ
Наукова праця присвячена дослідженню лінійної системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з простою точкою звороту. Запропоновано асимптотичне інтегрування системи лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних з простою точкою звороту, яка містить квадратну матрицю довільного порядку і власні значення якої співпадають в одні точці. Доведено теореми про зведення системи лінійних диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних до системи канонічної форми, для якої побудовано розв’язок ітераційним способом і доведено нескінчену диференційованість матриці перетворення при дійсних значеннях незалежної змінної і параметра.

Доведені в роботі твердження доповнюють і розширюють існуючі результати з теорії асимптотичного інтегрування системи диференціальних рівнянь з малим параметром при частині похідних і точкою звороту.

Отримані в роботі результати можуть бути використані як при подальшому розвитку загальної теорії систем з малим параметром при похідній, так і при дослідженні різних математичних моделей.

Публікації. Загальна кількість публікацій -31, серед них: статей у вітчизняних та закордонних журналах- 22, зокрема статей у фахових виданнях, що входять до переліку ВАК України – 13, а у міжнародних журналах, що містяться в базі даних SCOPUS – 1 з індексом її цитувань – 6, тез доповідей-8, навчальний посібник-1. Результати дослідження по темі роботи опубліковані в 18 наукових працях, з яких 13 статей та 5 тез наукових конференцій.

Претендент на премію Президента України

для молодих вчених І.Г.Ключник


Схожі:

Реферат лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту icon1 Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість
Клас диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах, досить невеликий, тому мають велике значення наближені методи розв’язку...
Реферат лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту iconДиференційні рівняння вищого порядку. 17 Основні поняття, та ознаки і співілношення
Оскільки теоретичні поняття і методи інтегрування диференціальних рівнянь вищого порядку є споріднені для рівнянь різних порядків,...
Реферат лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту iconВ. Н. Каразіна Кафедра диференціальних рівнянь та керування " затверджую " Перший проректор Александров В. В. " " 2011 р. Робоча програма
Скорик Василь Олександрович, кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри диференціальних рівнянь та керування
Реферат лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту iconНавчальна дисципліна: фізика
Повна система диференціальних рівнянь Максвела для електромагнітного поля. Струми зміщення
Реферат лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту iconДиференціальні рівняння першого порядку, диференціальні рівняння вищого порядку, лінійні диференціальні рівняння, системи диференціальних рівнянь
Наведемо декілька основних визначень теорії диференціальних рівнянь, що будуть використовуватися надалі
Реферат лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту iconЛабораторна робота №1 Чисельні методи розв'язку диференціальних рівнянь
Ціль роботи: вивчити чисельні методи розв'язку диференціальних рівнянь і придбати практичні навички розв'язку подібних задач на персональних...
Реферат лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту iconНазва модуля: Обчислювальна математика та програмування
Обробка експериментальних даних. Інтерполяція функцій. Наближені методи обчислення визначених інтегралів. Наближені методи розв'язування...
Реферат лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту iconЕкстраполяційний метод мажорантного типу розв’язування задачі коші для звичайних диференціальних рівнянь
З використанням апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій [1, 2] побудовано чисельний метод розв’язування задачі Коші...
Реферат лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту iconПро асимптотичне зображення розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з повільнозмінними коефіцієнтами
Розглянуто побудову і показано вигляд формальних частинних розв’язків системи лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з...
Реферат лінійна система диференціальних рівнянь з точкою звороту iconПобудова диференціальних рівнянь за заданим параметричним сімейством кривих
Заняття Тема: Побудова диференціальних рівнянь за заданим параметричним сімейством кривих
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка