Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей




95.88 Kb.
Назва«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей
Дата конвертації09.10.2012
Розмір95.88 Kb.
ТипМетодичні вказівки
Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Сумський державний університет

Шосткинський інститут

3075 МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до самостійної роботи

з дисципліни «Вища математика»

на тему: «Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку»

для студентів інженерних спеціальностей

денної і заочної форм навчання


Суми

Сумський державний університет

2011

Методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни «Вища математика» на тему «Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» / укладач А.М. Шкіра. – Суми, 2011. – 14 с.

Кафедра фундаментальних і загальнонаукових дисциплін

Вивчаючи явища природи, розв'язуючи різноманітні задачі з фізики, техніки, біології, економіки, не завжди можна безпосередньо встановити прямий зв'язок між величинами, що описують той чи інший еволюційний процес. Здебільшого визначають залежність між величинами (функціями) та швидкостями їх зміни відносно інших (незалежних) змінних величин. При цьому складаються рівняння, в яких невідомі функції містяться під знаком похідної. Такі рівняння називають диференціальними.

Степенем диференціального рівняння є порядок найбільшої похідної, що входить до рівняння. Якщо рівняння має тільки першу похідну, то це рівняння першого порядку. Вони за певними ознаками поділяються на класи, кожний з яких має свій порядок розв’язання.

Диференціальне рівняння -го порядку має вигляд

.

Якщо диференціальне рівняння розв’язане відносно старшої похідної, то воно має вигляд

.

Іноді його називають диференціальним рівнянням у нормальній формі.

Загальним розв’язком диференціального рівняння -го порядку називається -раз неперервно диференційована функція , що перетворює при підстановці рівняння в тотожність, у якій вибором сталих можна одержати розв’язок довільної задачі Коші в області існування та єдиності розв’язків.

Для диференціального рівняння, розв’язаного відносно похідної, задача Коші ставиться таким чином: потрібно знайти функцію , - разів неперервно диференційовану, яка при підстановці до рівняння перетворює його на тотожність і задовольняє початкові умови . Для диференціального рівняння, не розв’язаного відносно похідної, задача Коші полягає в знаходженні розв’язку , що задовольняє початкові дані

,

де значення довільні, а - один з коренів алгебраїчного рівняння .

Для диференціальних рівнянь вищих порядків одним із методів інтегрування є метод зниження порядку. Суть методу полягає в тому, що за допомогою заміни змінної (підстановки) рівняння зводиться до рівняння, порядок якого нижче.
Розглянемо три типи рівнянь, що допускають зниження порядку.
1.Нехай задане рівняння . (1)
Його порядок можна знизити, ввівши нову функцію р(х), припустивши що . Тоді й отримуємо диференціальне рівняння першого порядку. Розв’язавши його, тобто знайшовши функцію , розв’яжемо рівняння . Таким чином, отримаємо загальний розв’язок рівняння (1).
На практиці роблять інакше: порядок знижується безпосередньо шляхом послідовного інтегрування рівняння.

Оскільки то рівняння (1) можна записати у вигляді. . Тоді, інтегруючи рівняння , отримуємо: , або . Далі, інтегруючи отримане рівняння по х, знаходимо тобто - загальний розв’язок заданого рівняння.

Якщо задане рівняння, то, проінтегрувавши його послідовно n разів, знайдемо спільний розв’язок рівняння: .

Приклад 1. Розв'язати рівняння .
Розв’язання: Послідовно інтегруючи чотири рази задане рівняння, отримаємо:


,
,

.
2. Нехай задане рівняння (2)
яке не містить явно шуканої функції у.
Позначимо, де - нова невідома функція. Тоді і рівняння (2) набуває вигляду. Нехай - загальний розв'язок отриманого диференціального рівняння першого порядку. Замінюючи функцію р на , отримуємо диференціальне рівняння Воно має вигляд (1). Для відшукання у необхідно проінтегрувати останнє рівняння. Загальний розв’язок рівняння (2) буде мати вигляд . .
Окремим випадком рівняння (2) є рівняння
(3), яке не містить також і незалежну змінну х. Воно інтегрується тим же самим способом: Отримуємо рівняння з відокремлюваними змінними.
Якщо задано рівняння (4),
яке також не має явно шуканої функції, то його можна знизити на k одиниць, припустивши Тоді і рівняння (4) набуде вигляду .

Окремим випадком рівняння (4) є рівняння
, або
За допомогою заміни це рівняння зводиться до диференціального рівняння першого порядку.
Приклад 2. Розв'язати рівняння. .
Розв’язання: Вважаємо, що , де
Тоді. . Це рівняння з відокремлюваними змінними: Інтегруючи його, отримаємо Повертаючись до змінної х, отримаємо , - загальний розв’язок рівняння.

3.Розглянемо рівняння (5) ,
яке не містить явно незалежної змінної х.
Для зниження порядку рівняння введемо нову функцію , що залежить від змінної у, вважаючи, що. Диференціюючи цю рівність по х, ураховуючи, що , маємо
тобто
Тепер рівняння (5) запишеться у вигляді . Нехай є спільним розв’язком цього диферен- ціального рівняння першого порядку. Замінюючи функцію на отримаємо - диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Інтегруючи його, знаходимо загальний інтеграл рівняння (5): .
Окремим випадком рівняння (5) є рівняння вигляду .
Таке рівняння розв’язується за допомогою аналогічної заміни: .
Аналогічні дії робимо й при розв'язанні рівняння . Його порядок можна знизити на одиницю, прирустивши , де. За правилом диференціювання складеної функції знаходимо . Потім знайдемо і так далі.
Зауваження. Розв’язок рівняння (3) також можна знайти, застосовуючи підстановку де .
Приклад 3. Знайти частинний розв’язок рівняння що задовольняє початкові умови
Розв’язання: Рівняння має вигляд (5). Припустивши отримаємо .
Оскільки (інакше , що суперечить початковій умові , то - отримали лінійне диференціальне рівняння першого порядку.
Розв’яжемо це рівняння методом Бернуллі. Вважаємо, що . Маємо: , або

Підберемо функцію  так, що . Тоді Отримаємо тобто
Інтегруючи цю рівність, знаходимо, що .
Отже,
або . Замінюючи р на у/, отримаємо Підставляючи і в цю рівність, знаходимо : .
Маємо . Звідси . Знаходимо з початкових умов: . Таким чином, - частинний розв’язок заданого диференціального рівняння.
Завдання для самостійної роботи
1. Знайти частинний розв’язок диференціального рівняння і обчислити значення отриманої функції при х=х0 з точністю до двох знаків після коми.

1.1.

1.2.

1.3.

1.4. .

1.5. .

1.6. .

1.7. .

1.8. .

1.9.

1.10. .

1.11. .

1.12. .

1.13. .

1.14. .

1.15. .

1.16.

1.17. .

1.18. .

1.19.

1.20. .

1.21. .

1.22.



1.23

1.24

1.25

1.26

1.27

1.28

1.29

1.30
2.Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

2.1. .

2.2. .

2.3. .

2.4. .

2.5. .

2.6.

2.7. .

2.8 ..

2.9. .

2.10. .

2.11. .

2.12. .

2.13. .

2.14. .

2.15. .

2.16..

2.17.

2.18. .

2.19. .

2.20.

2.21. .

2.22. .

2.23. .

2.24. .

2.25. .

2.26. .

2.27. .

2.28. .

2.29. .

2.30. .

3. Розв’язати задачу Коші (знайти частинний розв’язок):

1. ,

.

2.

.

3.

.

4.

.

5.

.

6.

.

7.

.

8.



9.

.

10.



11.

.

12.



13.

.

14.

.

15.

.

16.

.

17.

.

18.

.

19.

.

20.

.

21.



22.

.

23.

.

24.

.

25.

.

26.

.

27. ,

.

28.

.

29.

.

30.

.


4. Розв’язати задачу Коші (знайти частинний розв’язок)

4.1. .

4.2. .

4.3. .

4.4. .

4.5. .

4.6. .

4.7. .

4.8. .

4.9. .

4.10. .

4.11. .

4.12. .

4.13. .

4.15. .

4.16. .

4.17. .

4.18. .

4.19. .

4.20.

4.21. .

4.22. .

4.23. .

4.24. .

4.25. .

4.26. .

4.27. .

4.28. .

4.29. .

4.30. .
Список літератури


  1. Дубовик В.П. Вища математика / В.Г.Дубовик, І.І.Юрик – К.:Видавництво Ф.С.К., 2004.

  2. Математичний аналіз у задачах і прикладах / Л.І. Дюженкова та ін. Ч. 2. – К.: Вища школа, 2003.

  3. Вища математика / П.П. Овчинников та ін. Ч. 2. – К.: Тех-ніка, 2003.

  4. Диференціальні рівняння в задачах / А.М. Самійленко та ін.: навч. посібник. - К.: Либідь, 2003.

  5. М.І. Шкіль. Диференціальні рівняння: навч. посіб. – К.: Техніка, 2003.







Схожі:

«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей iconДиференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку
За рахунок вибору довільних сталих С1, С2 можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в знаходженні частинного розв’язку у = у(Х) др,...
«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей iconДиференціальні рівняння першого порядку, диференціальні рівняння вищого порядку, лінійні диференціальні рівняння, системи диференціальних рівнянь
Наведемо декілька основних визначень теорії диференціальних рівнянь, що будуть використовуватися надалі
«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей iconЗмістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння
Лндр другого порядку зі сталими коефіцієнтами І право частиною спеціального вигляду
«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей iconЛекція 2 Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані
Означення Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння 1 називається порядком диференціального рівняння
«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей iconТип модуля: обов’язковий Семестр: II обсяг модуля
Числові ряди та їх властивості. Знакозмінні ряди. Знакопочережні ряди. Функціональні ряди та рівномірна збіжність. Степеневі ряди...
«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей iconПрограма курсу "Диференціальні рівняння"
Виникнення теорії диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння у прикладних задачах. Основні поняття та об’єкти
«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей iconРозділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв'язані відносно похідної
Означення Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння 1 називається порядком диференціального рівняння
«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей iconРозділ Диференціальні рівняння вищих порядків
Основні поняття та означення. Динамічна інтерпретація диференціальних рівняння другого порядку. Консервативні системи
«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей icon1. Диференціальні рівняння першого порядку
Якщо знати та, то можна обчислити тобто. Таким чином, диференціальне рівняння визначає поле напрямків, і задача інтегрування рівнянь...
«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей iconПитання з курсу “Диференціальні рівняння” (спеціальність – прикладна математика)
Загальні визначення понять диференціальних рівнянь першого порядку. Поняття розв’язку, загального розв’язку, інтегралу диференціального...
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка