Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Змістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння




0.63 Mb.
НазваЗмістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння
Сторінка1/5
Дата конвертації01.02.2013
Розмір0.63 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 11

ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ
Тема 11.1. Основні відомості про диференціальні рівняння.

11.1.1. Основні поняття.

11.1.2. Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь.
Тема 11.2. Диференціальні рівняння першого порядку.

11.2.1. Основні поняття.

11.2.2. Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь.

11.2.3. Однорідні диференціальні рівняння.

11.2.4. Лінійні рівняння. Рівняння Я.Бернуллі.

11.2.5. Рівняння в повних диференціалах. Інтегруючий множник.

11.2.6. Рівняння Лагранжа і Клеро.
Тема 11.3. Диференціальні рівняння вищих порядків.

11.3.1. Основні поняття.

11.3.2. Рівняння, що допускають зниження порядку.

11.3.3. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків.

11.3.4. Лінійні однорідні ДР другого порядку.

11.3.5. Лінійні однорідні ДР -ого порядку.
Тема 11.4. Інтегрування ДР зі сталими коефіцієнтами.

11.4.1. Інтегрування ЛОДР другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

11.4.2. Інтегрування ЛОДР -ого порядку зі сталими коефіцієнтами.
Тема 11.5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння(ЛНДР).

11.5.1. Структура загального розв'язку ЛНДР другого порядку.

11.5.2. Метод варіації довільних сталих.

11.5.3. Інтегрування ЛНДР другого порядку зі сталими коефіцієнтами і право частиною спеціального вигляду.

11.5.4. Інтегрування ЛНДР -ого порядку () зі сталими коефіцієнтами і право частиною

спеціального вигляду.
Тема 11.6. Системи диференціальних рівнянь.

11.6.1. Основні поняття.

11.6.2. Інтегрування нормальних систем.

11.6.3. Системи лінійних ДР зі сталими коефіцієнтами.
Тема 11.7.Елементи теорії стійкості.

11.7.1. Стійкість розв’язків лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

11.7.2. Метод функцій Ляпунова.

11.7.3. Стійкість розв’язків нелінійної системи диференціальних рівнянь.

11.7.4. Дослідження стійкості коливань механічних систем.

11.7.5. Перехід до канонічної системи рівнянь.

Тема 11.1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

11.1.1 Основні поняття

При розв’язанні різних задач математики, фізики, хімії й інших наук часто користуються математичними моделями у вигляді рівнянь, що зв'язують незалежну змінну, шукану функцію і її похідні. Такі рівняння називаються диференціальними (термін належить Г. Лейбніцу, 1676 р.).

Розв’язком диференціального рівняння називається функція, що при підстановці у рівняння перетворює його у тотожність.

Так, розв’язком рівняння є функція — первісна для функції

Розглянемо деякі загальні відомості про диференціальні рівняння (ДР).

Якщо шукана (невідома) функція залежить від однієї змінної, то ДР називають звичайним; у противному випадку — ДР у частинних похідних. Далі будемо розглядати тільки звичайні ДР.

Найвищий порядок похідної, що входить у ДР, називається порядком цього рівняння.

Наприклад, рівняння - звичайне ДР третього порядку, а рівняння - першого порядку; -ДР у частинних похідних першого порядку.

Процес відшукання розв’язку ДР називається його інтегруванням, а графік розв’язку ДР — інтегральною кривою.

Розглянемо деякі задачі, розв’язок яких приводить до диференціальних рівнянь.

11.1.2. Задачі, що приводять до диференціальних рівнянь

Задача 1

Матеріальна точка маси m сповільнює свій рух під дією сили опору середовища, пропорційної квадрату швидкості V. Знайти залежність швидкості від часу. Знайти швидкість точки через 3 с після початку сповільнення, якщо V(0)= 100 м/с, а V(l) = 50 м/с.

Розв'язання: Приймемо за незалежну змінну час t, відлічуваний від початку сповільнення руху матеріальної крапки. Тоді швидкість точки V буде функцією від t, тобто . Для знаходження V(t) скористаємося другим законом Ньютона (основним законом механіки):, де- є прискорення тіла, що рухається, - результуюча сила, що діє на тіло у процесі руху.

У даному випадку — коефіцієнт пропорційності (знак мінус вказує на те, що швидкість тіла зменшується). Отже, функція є розв’язком диференціального рівняння або .

Тут m — маса тіла.

Як буде показаний нижче (приклад 2.5), , де с - const.

Знайшовши залежність швидкості від часу, легко знайти швидкість точки через 3 с після початку сповільнення.

Знайдемо спочатку параметри і с. Відповідно до умови задачі, маємо: і . Звідси , .

Отже, швидкість точки змінюється за законом . Тому V(3) = 25 м/с.

Задача 2

Знайти криву, що проходить через точку (4;1), знаючи, що відрізок будь-який дотичної до неї, ув'язнений між осями координат, поділяється у крапці торканні навпіл.

Розв'язання: Нехай М(х;у) — довільна точка кривої, рівняння якої . Для визначеності припустимо, що крива розташована у першій чверті
(див. рис. 1).

Для складання диференціального рівняння скористаємося геометричним змістом першої похідної: є кутовий коефіцієнт дотичної; у точці М(х; у) він дорівнює , тобто = .

З рисунка видно, що = . Але

= = -,

MС = у. За умовою задачі AM = MB, отже, ОС = З У = х. Таким чином, одержуємо –= або = - . Розв'язком отриманого диференціального рівняння є функція y = (гіпербола). Розв'язок буде наведено у 11.2.2
(приклад 2.4).

Інші задачі

Можна показати, що:

  • закон зміни маси радію у залежності від часу («радіоактивний розпад») описується диференціальним рівнянням ,

де — коефіцієнт пропорційності, — маса радію у момент часу t;

  • «закон охолодження тіл», тобто закон зміни температури тіла у залежності від часу, описується рівнянням , де

— температура тіла у момент часу t, k — коефіцієнт пропорційності,

— температура повітря (середовища охолодження);

• залежність маси x речовини, що вступила у хімічну реакцію, від часу t у багатьох випадках описується рівнянням , де k — коефіцієнт пропорційності;

  1. «закон розмноження бактерій» (залежність маси m бактерій від часу t) описується рівнянням , де k > 0;

  2. закон зміни тиску повітря у залежності від висоти над рівнем моря описується рівнянням , де p(h) — атмосферне, тиск повітря на висоті h, k > 0.

Уже наведені приклади вказують на винятково важливу роль диференціальних рівнянь при розв’язанні найрізноманітніших задач.
11.2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

11.2.1. Основні поняття

Диференціальне рівняння першого порядку у загальному випадку можна записати у вигляді

(2.1)

Рівняння зв'язує незалежну змінну x, шукану функцію y і її похідну у'. Якщо рівняння (2.1) можна подати відносно , то його записують у виді

=f(x;y) (2.2)

і називають ДР першого порядку, розв’язаним відносно похідної. Ми в основному будемо розглядати цю форму запису ДР.

Рівняння (2.2) встановлює зв'язок (залежність) між координатами точки

(x; y) і кутовим коефіцієнтом дотичної до інтегральної кривої, що проходить через цю точку. Отже, ДР = f(x; y) дає сукупність напрямків (поле напрямків) на площині Оxy. Таке геометричне тлумачення ДР першого порядку.

Крива, у всіх точках якої напрямок поля однаковий, називається ізокліною. Ізоклінами можна користуватися для наближеної побудови інтегральних кривих. Рівняння ізокліни можна одержати, якщо покласти =с, тобто f(x; y) = с.

Приклад 2.1. За допомогою ізоклін накреслити вид інтегральних кривих рівняння = 2x.

Розв'язання: Рівняння ізоклін цього ДР буде

2х = с, тобто ізоклінами тут будуть прямі, паралельні осі (х = ). У точках прямих проведемо відрізки, що утворять з віссю Ох той самий кут α, тангенс якого дорівнює с,

Так, при с = 0 маємо х = 0, = 0, тому α = 0;

при с = 1 рівняння ізокліни х = , тому = 1 і
α = 45°;

при с = -1: х = - , = -1, α = -45°;

при с = 2: x= l, = 2, α = arctg2 63° і т.д.

Побудувавши чотири ізокліни і відмітивши на кожній з них ряд стрілочок, нахилених до осі Ох під визначеним кутом (див. рис. 2), по їхніх напрямках будуємо лінії. Вони, як видно, являють собою сімейство парабол.

Диференціальне рівняння першого порядку, розв’язане відносно похідної, можна записати у диференціальній формі:

, (2.3)

де Р(х;у) і Q(x;y) — відомі функції. Рівняння (2.3) зручно тим, що змінні та у ньому рівноправні, тобто кожну з них можна розглядати як функцію іншої. Відзначимо, що від одного виду запису ДР можна перейти до іншого.

Інтегрування ДР у загальному випадку приводить до нескінченної кількості розв’язків (що відрізняються один від іншого сталими ). Легко здогадатися, що розв'язком рівняння = 2х є функція y = x2, а також
у = х2 + 1, у = х2 - і взагалі y = х2 + c, де c - const.

Щоб розв'язок ДР набув конкретного сенсу, його треба підкорити деяким додатковим умовам.

Умова, що при функція повинна дорівнювати заданому числу тобто = називається початковою умовою. Початкова умова записується у вигляді

або (2.4)

Загальним розв'язком ДР першого порядку називається функція, що містить одну довільну постійну і задовольняє умовам:

  1. Функція є розв'язком ДР при кожнім фіксованому значенні с.

  2. Яке б не була початкова умова (2.4), можна знайти таке значення постійної, що функція задовольняє даній початковій умові.

Частинним розв'язком ДР першого порядку називається будь-яка функція , отримана з загального розв'язку при конкретному значенні постійної .

Якщо загальний розв'язок ДР знайдений у неявному вигляді, тобто у вигляді рівняння, то таке розв'язок називається частинним інтегралом ДР. Рівняння у цьому випадку називається частинним інтегралом рівняння.

З геометричної точки зору є сімейство інтегральних кривих на площині ; частинний розв'язок— одна крива з цього сімейства, що проходить через точку.

Задача відшукання розв’язку ДР першого порядку (2.3), що задовольняє заданій початковій умові (2.4), називається задачею Коші.

Теорема 2.1 (існування й єдиності розв'язку задачі Коші). Якщо у рівнянні (2.2) функція f(х;у) і її частинна похідна неперервні у деякій області D, що містить точку(;), то існує єдиний розв'язок цього рівняння, що задовольняє початковій умові (2.4).

(Без доведення).

Геометричний зміст теореми полягає у тому, що при виконанні її умов існує єдина інтегральна крива ДР, що проходить через точку(;).

Розглянемо тепер методи інтегрування ДР першого порядку визначених типів.

11.2.2. Рівняння з відокремлюваними змінними

Найбільш простим ДР першого порядку є, рівняння виду

(2.5)

У ньому один доданок залежить тільки від , а інший — від . Іноді такі ДР називають рівняннями з відокремленими змінними. Проінтегрировавши почленно це рівняння, одержуємо:



— його загальний інтеграл.
  1   2   3   4   5

Схожі:

Змістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння iconПрограма курсу "Диференціальні рівняння"
Виникнення теорії диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння у прикладних задачах. Основні поняття та об’єкти
Змістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння iconДиференціальні рівняння першого порядку, диференціальні рівняння вищого порядку, лінійні диференціальні рівняння, системи диференціальних рівнянь
Наведемо декілька основних визначень теорії диференціальних рівнянь, що будуть використовуватися надалі
Змістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння iconТема Питання до практичного заняття
Диференціальні рівнян-ня І поряд-ку: загальні поняття. Диференціальні рівняння з відокремле-ними та відокремлюва-ними змінними
Змістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння icon«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей
Методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни «Вища математика» на тему «Диференціальні рівняння, що допускають зниження...
Змістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння iconРозділ Диференціальні рівняння вищих порядків
Основні поняття та означення. Динамічна інтерпретація диференціальних рівняння другого порядку. Консервативні системи
Змістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння iconТип модуля: обов’язковий Семестр: II обсяг модуля
Числові ряди та їх властивості. Знакозмінні ряди. Знакопочережні ряди. Функціональні ряди та рівномірна збіжність. Степеневі ряди...
Змістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння iconЛекція 2 Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані
Означення Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння 1 називається порядком диференціального рівняння
Змістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння iconРозділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв'язані відносно похідної
Означення Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння 1 називається порядком диференціального рівняння
Змістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння iconВища математика Навч посібник: у 2-х ч. — Ч. — К.: кнеу, 2002. — 451 с. Тв обкл. Гриф надано Міністерством освіти І науки України Лист №14/182-160 від 20. 02. 2001 Ціна: 26,25 грн
У другій частині навчального посібника подаються докладні відомості про функції багатьох змінних, інтегральне числення, звичайні...
Змістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння icon1. Диференціальні рівняння першого порядку
Якщо знати та, то можна обчислити тобто. Таким чином, диференціальне рівняння визначає поле напрямків, і задача інтегрування рівнянь...
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка