Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів по темі «системи диференціальних рівнянь»




0.73 Mb.
НазваМетодичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів по темі «системи диференціальних рівнянь»
Сторінка1/2
Дата конвертації23.09.2013
Розмір0.73 Mb.
ТипМетодичні вказівки
Зміст
Щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів
Короткі теретичні відомості
Тема 1. Системи диференціальних рівнянь. Нормальні системи рівнянь.
1.2. Механічне тлумачення нормальної системи та її розв’язків.
1.3. Розв’язування нормальних систем методом виключення
1.4. Метод інтегровних комбінацій.
2.1. Розв’язування однорідних систем лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами.
2.2.1. Метод варіації довільних сталих.
2.2.2. Метод невизначених коефіцієнтів.
Таблиця 1. Варіанти для виконання контрольної роботи.Остання цифраПередостанняцифра01234567890
Зразок виконання завдань контрольної роботи.
Список рекомендованої літератури
  1   2


МИНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ ТА ПРОДОВОЛЬСТВА УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ




ВИЩА МАТЕМАТИКА
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ЩОДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ ТА САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ

ПО ТЕМІ «СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ»

СУМИ – 2012
МИНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ ТА ПРОДОВОЛЬСТВА УКРАЇНИ

СУМСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ АГРАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ВИЩА МАТЕМАТИКА
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ЩОДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ ТА САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ СТУДЕНТІВ

ПО ТЕМІ «СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ»
для студентів інженерних спеціальностей денної та заочної форм навчання


СУМИ - 2012

УДК 517.09
Укладачі: Розуменко А. М., доцент кафедри вищої математики;

Головченко Г.С., ст. викладач кафедри вищої математики.

М_Вища математика. Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів по темі «Системи диференціальних рівнянь» для студентів інженерних спеціальностей денної та заочної форм навчання. – Суми: СНАУ, 2012.- 44 с.

Наведено методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів. Приводяться короткі теоретичні відомості по темі: «Системи диференціальних рівнянь». Наведено контрольні завдання для самостійного виконання та зразки розв’язування завдань.

Рецензенти: професор кафедри «Енергетика в АПК», доктор фізико – математичних наук Кузема О. С. (Сумський національний аграрний університет); доцент кафедри «Математика», кандидат фізико – математичних наук Власенко В. Ф. (Сумський державний педагогічний університет ім. А. С. Макаренка)
Відповідальний за випуск: доцент кафедри «Вища математика», кандидат фізико – математичних наук Розуменко А. М.


Рекомендовано до друку вченою радою ННІТІ (протокол №______ від «____» ____________ 2012 року).

© Сумський національний аграрний університет, 2012

ЗМІСТ

ПЕРЕДМОВА

КОРОТКІ ТЕРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

ТЕМА 1. СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ. НОРМАЛЬНІ СИСТЕМИ…….………….……………………………………..............................5

1.1. Основні означення………………………………………………………………5

1.2. Механічне тлумачення нормальної системи та її розв’язків…………………7

1.3. Розв’язування нормальної системи методом виключення…………………...8

1.4. Розв’язування нормальної системи методом інтегрованих комбінацій……..9

ТЕМА 2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ІЗ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ…………………………………………………..10

2.1. Розв’язування однорідних систем лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами……………………………………………………………10

2.2. Розв’язування неоднорідних систем лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами…………………………………………………………… 12

2.2.1. Метод варіації довільних сталих……………………………………………12

2.2.2. Метод невизначених коефіцієнтів…………………………….....................13

ЗАГАЛЬНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ…………………………………………………………………………..14

ВАРІАНТИ КОНТРОЛЬНИХ ЗАВДАНЬ……………………………………..15

Задача 1…………………………………………………………………………...16

Задача 2…………………………………………………………………………...17

Задача 3…………………………………………………………………………...19

Задача 4…………………………………………………………………………...21

Задача 5…………………………………………………………………………...24

ЗРАЗОК ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ…………………………26

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ………………………………40

ПЕРЕДМОВА

Сучасні умови інженерної діяльності (технологізація всіх сфер життя, екологічні проблеми довкілля, зростання обсягу науково – технічної інформації та її постійне оновлення, математизація та комп’ютерізація методів і засобів пошуку вирішення технічних проблем) висувають нові вимоги до вищої технічної освіти.

Особливості сучасних інженерних завдань (невизначеність постановки, необхідність урахування множини зовнішніх та внутрішніх параметрів, надлишок або нестача початкових даних тощо) вимагає мисленнєвих здібностей спеціаліста. Сучасному інженеру слід уміти знаходити необхідну інформацію, визначати проблеми, виробляти гіпотези, розпізнавати в сукупностях даних певні закономірності, розв’язувати міждисциплінарні завдання. Вирішального значення в становленні майбутніх інженерів як фахівців набуває вміння обґрунтовувати, розробляти та досліджувати математичні моделі технічних об’єктів, а для цього потрібно математичне мислення студентів.

Вирішальну роль у формуванні математичного мислення майбутніх інженерів відіграють технічні дисципліни, які широко використовують математичні методи для для дослідження технічних об’єктів.

Сучасна теорія диференціальних рівнянь та систем диференціальних рівнянь займає чільне місце серед інших математичних дисциплін. З її виникненням природознавство дістало могутній засіб моделювання і дослідження різноманітних найскладніших задач науки і техніки.

Мета методичних вказівок – ознайомити студента з основними базовими поняттями, фактами, методами при вивченні даної теми та підготовити його до самостійної роботи з методичної літературою.

Теоретичний аспект методичних вказівок представлений розглядом основних теоретичних відомостей з теми: «Системи диференціальних рівнянь».

Навчальний аспект методичних вказівок реалізується шляхом застосування теоретичного матеріалу до розв’язування конкретних завдань.

Тема 1. Системи диференціальних рівнянь. Нормальні системи рівнянь.

У багатьох науково – технічних задачах буває потрібно знайти не одну, а зразу кілька невідомих функцій, які пов’язані між собой кількома диференціальними рівняннями. Сукупність таких рівнянь утворює систему диференціальних рівнянь.

Приклад. Нехай матеріальна точка маси m має криволінійну траєкторію в просторі. Потрібно визначити закон руху точки, тобто залежність координат x, y, z від часу t, коли на неї діє сила .

Якщо радіус – вектор рухомої точки, то її швидкість і прискорення знаходяться за формулами:



Сила , під дією якої рухається точка, взагалі кажучи, є функцією часу, координат точки і проекцій швидкості на осі координат: Тому згідно із другим законом Ньютона диференціальне рівняння руху точки має вигляд



Це векторне рівняння еквівалентне системі трьох скалярних рівнянь:



Наведені диференціальні рівняння утворюють систему трьох диференціальних рівнянь другого порядку відносно трьох невідомих функцій

1.1. Основні означення.

Означення. Сукупність співвідношень вигляду

(1.1)

де - шукані функції незалежної змінної t, називають системою звичайних диференціальних рівнянь першого порядку.

Якщо (1.1) можна розв’язати відносно похідних усіх функцій, то одержимо нормамальну систему диференціальних рівнянь :
або (1.2)



Тобто, якщо в лівій частині рівнянь системи стоять похідні першого порядку, а праві частині зовсім не містять похідних, то така система називається нормальною.

Розвязком системи (1.2) називають сукупність функцій , які задовольняють кожному з рівнянь цієї системи.

Зауваження.В багатьох випадках системи рівнянь і рівняння вищих порядків можна привести до нормальної системи (1.2).

Так, наприклад, система, яка описує рух точки у просторі (приклад)



зводиться до нормальної системи шляхом введення нових змінних:



Наприклад, система другого порядку



введенням нових змінних зводиться до нормальної системи



Тобто, введенням нових змінних – всяке диференціальне рівняння n – го порядку, розв’язане відносне старшої похідної, зводиться до еквівалентної нормальної системи n рівнянь першого порядку.

І навпаки, нормальна система диференціальних рівнянь у більшості випадків зводиться до одного диференціального рівняння - го порядку, вирішуючи яке можна знайти розв’язок вихідної системи.

На цьому заснований один з методів інтегрування системи – метод виключення.

Теорема Коші (про існування і єдиність розвязку) для нормальної системи.

Якщо в деякій області G функції системи (1.2) неперервні разом з усіма похідними для будь якої точки М0 , то існує единий розв’язок , який задовольняє початкові умови:



де - задані числа.

Розв’язок системи (1.2), у кожній точці якого виконується умова единості розв’язку задачі Коші називається частинним. Розв’язок системи, у кожній точці якого порушується умова единості розв’язку задачі Коші називається особливим.

1.2. Механічне тлумачення нормальної системи та її розвязків.

Розглянемо систему (1.2), де t – час, - координати точки n – вимірного простору. Цей простір називають фазовим. Для n = 1 фазовим простором є вісь t (фазова пряма), для n = 2 – площина (t, x), яку називають фазовою.

Кожний розв’язок (інтегральна крива) системи (1.2) виражає закон руху точки у фазовому просторі. Тому цей розв’язок називається рухом у n – вимірному просторі Rn, який визначений системою (1.2), а крива, яку описує рухома точка у фазовому просторі, - траекторія руху.

Оскільки ліві частини системи (1.2) є складовими (за осями координат) швидкості руху точки, тому ця система задає поле швидкостей рухів, тобто точка може проходити у момент часу t через положення ( ) тільки з заданою швидкістю.

Якщо швидкість, з якою точка проходить через положення ( ), не залежить від моменту часу проходження, тобто система (1.2) має вигляд

(1.3)

то її називають автономною (стаціонарною), а рух, що описується такою системою усталеним.

Якщо в деякій точці ( ) праві частини системи (1.3) дорівнюють нулю для всіх значень часу t, то ця система має розв’язок

(1.4)

оскільки, підставляючи його в (1.2), одержимо тотожності. Рух (1.4) називають станом спокою. Траекторією цього руху є точка ( ), яку називають точкою спокою.

Задача Коші для системи (1.2) полягає в знаходженні руху , який задовольняє початкові умови де , - задані числа (початкові дані). При цьому ( ) – початкова точка руху.

Зауваження. Якщо початковою точкою руху є точка спокою, то одним із розв’язків задачі Коші буде стан спокою (1.4).

1.3. Розвязування нормальних систем методом виключення (зведення системи диференціальних рівнянь до одного рівняння n – го порядку, яке містить одну невідому функцію). Це може бути досягнуто диференціюванням одного з рівнянь системи і виключенням всіх невідомих, крім одного.

Загальна схема такова. Продиференціюємо по t, наприклад перше з рівнянь системи (1.2):

Підставимо в цю рівність значення похідних із системи (1.2), маємо:

або .

Продиференціювавши цю рівність ще раз, маємо

Продовжуючи цій процес послідовно (n – 1) разів, отримаємо систему:

(1.5)

Визначимо з перших (n – 1) рівнянь системи (1.5) функції x2, ,xn через t, функцію x1 та її похідні , отримаємо:

(1.6)

Підставимо ці вирази в останнє рівняння системи (1.5), отримуємо диференціальне рівння n –го порядку



Розв’язавши це рівняння, знайдемо , де - довільні сталі. Продиференціювавши потім цей вираз (n – 1) разів і підставивши значення похідних в знайдені із системи (1.5) значення , дістанемо загальний розв’язок системи (1.2)



1.4. Метод інтегровних комбінацій.

Цей метод базується на одержанні диференціальних рівнянь, які легко інтегруються, із рівнянь системи (1.2) за допомогою арифметичних операцій.

Одна інтегровна комбінація дає можливість одержати одне кінцеве рівняння яке називається першим інтегралом системи (1.2). Якщо знайдено n перших інтегралів системи (1.2) і всі вони незалежні (їх сукупність називається загальним інтегралом системи (1.2)), тобто якобіан системи функцій відмінний від нуля:

,

то задача інтегрування системи (1.2) розв’язана, оскільки із системи визначаються всі невідомі функції .

Для знаходження інтегровних комбінацій систему іноді зручно записувати у симетричній формі:

(1.7)

Для розв’язання системи (1.7) або беруть пари відношень, які допускають відокремлення змінних, або використовують властивість рівних дробів



де коефіцієнти , , …, - довільні і їх вибирають так, наприклад, щоб чисельник був диференціалом знаменника, або чисельник був повним диференціалом, а знаменник дорівнював нулю.
Тема 2. Системи лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами.
2.1. Розв’язування однорідних систем лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами.

Якщо праві частини нормальної системи є лінійними функціями відносно невідомих функцій , то така система називається лінійной і має вигляд

(2.1)

де aij, i, j = 1,2,..,n – сталі коефіцієнти. Якщо всі , то така система називається однорідною, якщо , то така система називається неоднорідною.

Розглянемо матричний метод розв’язування лінійної однорідної системи.

Цю систему можна записати у вигляді одного матричного диференціального рівняння

(2.2)

де .

Шукатиме окремі розв’язки системи (1.3) у вигляді



де λ = const, ki = const (i = 1,2,…,n) – невизначені сталі, які потрібно знайти.

Підставимо значення x1, x2, ,xn в систему диференціальних рівнянь і скоротивши на множник , отримаємо:

або
(2.3)

тобто, дістали систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно k1, k2, ,kn. Щоб ця система мала ненульові розв’язки, необхідно і достатньо, щоб визначник системи дорівнював нулю:

(2.4)

Рівняння (2.4) називають характеристичним рівнянням матриці А і одночасно системи (2.1).

Можливі такі випадки:

1. Корені характеристичного рівняння дійсні і різні. Нехай, це характеристичне рівняння має n різних коренів λ1, λ2, …, λn, які є характеристичними числами матриці А. Кожному характеристичному числу відповідає свій власний вектор. Нехай характеристичному числу λр відповідає власний вектор (k1р, k2р, ,knр), де р = 1, 2, …, n. Тоді система диференціальних рівнянь має n розв’язків:

1-й розв’язок, який відповідає кореню λ = λ1:



2-й розв’язок, який відповідає кореню λ = λ2:



……………………………………………………….

n-й розв’язок, який відповідає кореню λ = λn:



Дані розв’язки лінійно незалежні і утворюють фундаментальну систему розв’язків. Запишемо загальний розв’язок системи:

(2.5)

2. Корені характеристичного рівняння різні, але серед них є комплексні.

Відомо, що в цьому випадку кожній парі комплексно – спряжених коренів характеристичного рівняння (2.4) відповідає пара частинних розв’язків:

(2.6)

де коефіцієнти , визначаються із системи (2.3) відповідно для і . Коефіцієнти , виявляються звичайно комплексними числами, а відповідні їм функції , - комплексними функціями. Виділяючи уявну і дійсну частини цих функцій і використовуя те, що для лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами і уявна і дійсна частини розв’язку є також розв’язками, отримуємо пару частинних дійсних розв’язків однорідної системи.

3. Серед коренів λ1, λ2, , λn характеристичного рівняння (2.4) є кратні.

Нехай λ корень кратності r характеристичного рівняння. Тоді розв’язок системи шукають у вигляді:

(2.7)

Числа kij знаходять так: підставляючи функції хі і їх похідні хі' в вихідну систему (2.1), а потім після скорочення на прирівнюють коефіцієнти при однакових степенях х в лівих і правих частинах отриманих рівностей. В результаті із усіх чисел kij r – завжди залишаються у вигляді вільних параметрів, які приймають за довільні сталі.

Розв’язки із фундаментальної системи, які відповідають простим (некратним) кореням характеристичного рівняння визначаються так, як і в п.1.
  1   2

Схожі:

Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів по темі «системи диференціальних рівнянь» iconМетодичні вказівки до виконання контрольної роботи для студентів спеціальності
Основи управління якістю. Програма курсу та методичні вказівки до виконання контрольної роботи для студентів спеціальності „Автомобілі...
Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів по темі «системи диференціальних рівнянь» iconМетодичні вказівки до виконання контрольної роботи Електричне коло постійного струму
Програма, методичні вказівки та завдання до контрольної роботи №1 з дисципліни "Основи теорії електричних кіл" для студентів спеціальності...
Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів по темі «системи диференціальних рівнянь» iconМетодичні вказівки до виконання контрольної роботи 3 дисципліни "теорія програмування" для студентів заочної форми навчання
Методичні вказівки до виконання контрольної роботи з дисципліни “Теорія програмування” /Укладач М. С. Бабій. – Суми: Вид-во СумДУ,...
Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів по темі «системи диференціальних рівнянь» iconМетодичні вказівки до самостійної роботи студентів та виконання науково-дослідного завдання (курсової роботи) з дисципліни «технологія наукових досліджень»
Методичні вказівки до самостійної роботи студентів та виконання науково-дослідного завдання з дисципліни «Технологія наукових досліджень»...
Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів по темі «системи диференціальних рівнянь» iconМетодичні вказівки І контрольні завдання з англійської мови для студентів 1 курсу заочної форми навчання
Виконання контрольної роботи з дисципліни «Англійська мова (за професійним спрямуванням)» студентами заочної форми навчання є складовою...
Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів по темі «системи диференціальних рівнянь» iconМетодичні рекомендації щодо організації самостійної роботи 12 Розділ План самостійної роботи студентів
Методичні рекомендації та індивідуальні завдання для самостійної роботи студентів факультету кібернетики з дисципліни " Українська...
Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів по темі «системи диференціальних рівнянь» iconМетодичні вказівки до самостійної роботи студентів з дисципліни «Електротехнічні матеріали»
Методичні вказівки до самостійної роботи студентів з дисципліни «Електротехнічні матеріали» ( для студентів спеціальності 050701...
Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів по темі «системи диференціальних рівнянь» iconМетодичні вказівки до виконання практичних занять та самостійної роботи з дисципліни «Зведення будівель та споруд»
Методичні вказівки до виконання практичних занять та самостійної роботи з дисципліни «Зведення будівель та споруд» для студентів...
Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів по темі «системи диференціальних рівнянь» iconМетодичні вказівки до виконання курсової роботи Цілі та завдання курсової роботи
Прошу розмістити на сайті дну у розділі «Методичні матеріали для самостійної роботи студентів» наступні матеріали
Методичні вказівки щодо виконання контрольної роботи та самостійної роботи студентів по темі «системи диференціальних рівнянь» iconМетодичні вказівки до самостійного вивчення курсу "Мікропроцесорні пристрої" і виконання контрольної та самостійної робіт
Методичні вказівки до самостійного вивчення курсу „Мікропроцесорні пристрої” І виконання контрольної та самостійної робіт (для студентів...
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка