Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Застосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку




134.46 Kb.
НазваЗастосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку
Сторінка1/4
Дата конвертації07.11.2012
Розмір134.46 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3   4

ГЛАВА 7: Застосування похідних до дослідження функцій

§ 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку


У цьому параграфі наводимо без доведення дві теореми, які виражають істотні властивості, притаманні неперервним функціям. В дальшому викладі при доведенні теорем будемо спиратися на ці теореми як на очевидні факти.

Теорема 1. (Про найбільшу й найменшу вартість функції). Якщо функція f(x) неперервна на замкненому проміжку [a, b], то вона набуває на цьому проміжку принаймні один раз своєї найбільшої і своєї найменшої вартостей.

Строге доведення цієї теореми (як і наступної) грунтується на теорії дійсних чисел. Ми обмежимося поясненням її змісту, використавши при цьому геометричне зображення функцій.

Теорема твердить, що коли функція f(x) неперервна на проміжку [a, b], то існує на ньому принаймні одна така точка х1 (рис. 47), що для всіх вартостей х з проміжку axb буде виконуватись нерівність

f(x)f(x1).

Вартість f(x1) називається найбільшою вартістю функції f(x) на проміжку [a, b] і позначається літерою М

f(x1)

За тих же умов теорема твердить про існування принаймні однієї точки x2 на проміжку [a, b], що для всіх вартостей х з розглянутого проміжку буде виконуватися нерівність

f(x1)f(x).

Вартість f(x2) називається найменшою вартістю функції f(x2) на проміжку [a, b] і позначаються літерою m.

Може здатися, що твердження теореми зовсім очевидне і тривіальне. Але достатньо взяти відкритий проміжок (a, b) - і ми переконаємося, що теорема стає невірною. Розглянемо, наприклад, неперервну функцію f(x)=х2 (рис.48) на відкритому проміжку (-2, 2). Вона набуває найменшої вартості нуль в точці х=0, але не можна вказати таку точку, для якої функція має найбільшу вартість. Справді, яку б не взяли ми точку х1 лівіше правого кінця х=2 (або праворуч лівого кінця х=-2), завжди знайдеться інша точка, наприклад, х2= (посередині між х=х1 та х=2), в якій функція х=х2 має більшу вартість, аніж у точці х=х1. Коли б точки х=-2 та х=2 не були виключені, тобто, якщо б ми розглядали функцію у=х2 на замкненому проміжку [-2, 2], існувала б найменша вартість функції 4 аж у двох точках х=-2 та х=2.

Якщо взяти, наприклад, функцію у=х, яка є неперервною в будь-якому відкритому проміжку, то неважко переконатися, що вона не досягає в ньому ні найбільшої, ні найменшої вартості.

Теорема 2. Якщо функція f(x) неперервна на замкненому проміжку [a, b] і має на його кінцях протилежні знаки, тобто f(a)∙f(b)<0, то вона принаймні один раз стає нулем всередині цього проміжку.

Припустимо, що f(x) неперервна функція на проміжку [a, b] і що f(а)>0, а f(b)<0 (рис.49)

Теорема твердить, що існує принаймні одна точка всередині проміжку [a, b] така, що . З рис. 49 видно, що перехід функції від додаткової вартості f(а) до від’ємної f(b), зважаючи на неперервність кривої – графіка неперервної функції, - відбудеться з обов’язковим перетином осі Ох принаймні в одній точці ξ. Розривні функції (рис.50), взагалі кажучи, не мають цієї властивості. З теореми 2 як наслідок випливає третя важлива теорема про неперервність функції.

Теорема 3. (про проміжні вартості функції). Якщо функція f(x) неперервна на замкненому проміжку [a, b] і має на його кінцях нерівні між собою вартості f(а)=А і f(b)=B, то всередині проміжку вона набуває принаймні один раз будь-якої вартості С, що міститься між А та В.

Доведення. Нехай A
Введемо допоміжну функцію



На проміжку [a, b] ця функція неперервна, бо неперервна на ньому, за припущенням, f(x). Але F(a)=f(a)-C=A-C<0 і F(b)=f(b)-C=B-C>0. Отже, за теоремою 2, функція F(x) стає нулем при деякому . Тому

F(ξ)=f(ξ)-C=0,

тобто . Це й треба було довести.

Геометричний зміст цієї теореми такий: будь-яка пряма у=С, паралельна осі Ох, перетне графік функції f(x) принаймні в одній точці, якщо тільки С міститься між A=f(a) та B=f(b). На рис.51 маємо три таких точки

Теорему 3 часто формулюють так: неперервна функція, переходячи від одної вартості до іншої, набуває усіх проміжних вартостей. Звичайно, розривна функція не має такої властивості. Між вартостями А1 та В2 (рис.50) немає вартостей функції (вона їх набуває), зображеної на цьому рисунку.

Теорему 2 можна застосувати до наближеного обчислення коренів рівняння. Вартість х=х0, при якій функція f(x) стає нулем, зветься коренем функції або коренем рівняння f(x)=0.
  1   2   3   4

Схожі:

Застосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку iconЗмістовий модуль 7 дослідження функцій з допомогою похідних тема Дослідження функцій за допомогою похідних
Теорема 1 (Ролль). Якщо функція неперервна на відрізку, що диференціюється на інтервалі і на кінцях відрізка приймає однакові значення,...
Застосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку iconДиференційованість елементарних функцій
У попередньому параграфі розглянуто правила обчислення похідних для функцій однієї змінної. Вони дозволяють знаходити похідні будь-яких...
Застосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку icon1 Функції, їхні властивості і графіки 1 Загальна характеристика теми
Головною її метою є підготовка учнів до вивчення нових класів функцій (тригонометричних, показникових, логарифмічних), а також мотивація...
Застосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку iconС. О. Чернецький " " 2011 р. Декан факультету прикладної математики О. М. Кісельова " " 2011 р. Програма
Властивості неперервних функцій (арифметичні дії, складена функція, основні теореми)
Застосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку iconСамостійна робота студентів, її тематика та обсяг
Властивості функцій, неперервних на відрізку: обмеженість, існування найбільшого і найменших значень, існування проміжних значень,...
Застосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку icon«Використання функціонально-вартісного аналізу при розробці програмного продукту»
Функціонально-вартісний аналіз – це метод комплексного техніко-економічного дослідження функцій об’єкта, призначений оптимізувати...
Застосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку iconПрограма вступного іспиту з математики математичний аналіз
Формула Тейлора та її застосування. Дослідження на екстремум І умовний екстремум функцій багатьох змінних. Диференційовні відображення...
Застосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку iconПрограма вступного іспиту до аспірантури математичний аналіз
Формула Тейлора та її застосування. Дослідження на екстремум і умовний екстремум функцій багатьох змінних. Диференційовні відображення...
Застосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку iconТеореми про диференціальні функції
Теорема Нехай в околі точки а задано неперервно диференційовані функції f(x), φ(x). Причому f(а) = φ(а) = Тоді в разі існування...
Застосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку iconКвадратична функція, її графік і властивості
«Функції, їх властивості і графіки»; закріпити уміння визначати функції по заданих формулах; закріпити уміння знаходити відповідності...
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка