Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Інтерполяція та апроксимація даних




98.14 Kb.
НазваІнтерполяція та апроксимація даних
Дата конвертації07.11.2012
Розмір98.14 Kb.
ТипЛабораторна робота
Зміст
Теоретичні відомості
Точкова апроксимація
Міністерство освіти та науки України

Черкаський державний технологічний університет

Кафедра спеціалізованих комп’ютерних систем

Лабораторна робота №1

По курсу „СЦОС”

„Інтерполяція та апроксимація даних”


Виконали:

студенти групи СКС-708

Шмиголь В.І.

Гугін О.Е.

Лимаренко С.І.

Перевірив:

Караван М.А.

Черкаси 2010

Тема: Інтерполяція та апроксимація даних.

Мета: Навчитися представляти запропоновані сигнали за допомогою стандартних функцій.

Теоретичні відомості:

Апроксимація даних:

Нехай величина y є функцією аргументу x. Це значить, що будь-якому значенню x з області визначення поставлено у відповідність значення y. Разом з тим на практиці часто невідомий дійсний зв’язок між y та x, тобто неможливо записати цей зв’язок у вигляді y=f(x). В деяких випадках навіть при невідомій залежності y=f(x) він настільки громіздкий(наприклад, містить важко обчислювані вирази, складні інтеграли і т.д.), що його використання у практичних розрахунках утруднено.

Найбільш розповсюдженим та практично важливим випадком, коли вигляд зв’язку між параметрами x та y невідомий, є задання цього зв’язку у вигляді деякої таблиці {xi yi}. Це значить, що дискретній множині значень аргументу {xi} відповідає множина значень функції {yi} (i=0,1…n). Ці значення - або результати розрахунків, або експериментальні дані. На практиці нам можуть знадобитися значення величини y також і в інших точках, що відрізняються від вузлів xi. Однак отримати ці значення можні лише шляхом дуже важких розрахунків або проведенням дорогих експериментів.

Таким чином, з точки зору економії часу та засобів ми приходимо до необхідності використання існуючих табличних даних для наближеного обчислення шуканого параметра y при будь-якому значенні(з деякої області), що визначає параметр x, оскільки точний зв’язок y=f(x) невідомий.

Цій меті і слугує задача про наближення(апроксимації) функцій: дану функцію f(x) необхідно наближено замінити(апроксимувати) деякою функцією g(x) так, щоб відхилення(в деякому сенсі) g(x) від f(x) в заданій області було мінімальним. Функція g(x) при цьому називається апроксимуючий.

Для практики суттєво важливий випадок апроксимації функції багаточленом:

g(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm (1.1)

При цьому коефіцієнти aj будуть підбиратися так, щоб досягти найменшого відхилення багаточлена від даної функції.

Якщо наближення будується на заданій множині точок {xi}, то апроксимація називається точковою. До неї відносяться інтерполювання, середньоквадратичне наближення таі інше. При побудові наближення на неперервній множині точок(наприклад, на проміжку [a,b] апроксимація називається неперервною або інтегральною).

Точкова апроксимація:

Одним з основних типів точкової апроксимації є інтерполювання. Воно полягає у наступному: для даної функції y=f(x) будуємо багаточлен (1.1), що приймає в заданих точках xi ті самі значення yi, що і функція f(x), тобто g(xi)=yi, i=0,1,…n.

При цьому припускається, що серед значень xi немає однакових, тобто xixk при цьому ik. Точки xi називаються вузлами інтерполяції, а багаточлен g(x) - інтерполяційним багаточленом.



Рис. 1.1

Таким чином, близькість інтерполяційного багаточлена до заданої функції полягає в тому, що їх значення співпадають на заданій схемі точок(рис.1.1, суцільна лінія).

Максимальний ступінь інтерполяційного багаточлена m=n; в цьому випадку говорять про глобальну інтерполяцію.

При великій кількості вузлів інтерполяції отримаємо високий ступінь багаточлена (1.1) у випадку глобальної інтерполяції, тобто коли необхідно мати один інтерполяційний багаточлен для всього проміжку виміру аргументу. Крім того, табличні дані могли бути отримані шляхом вимірів та містити похибки. Побудова апроксимовуваного багаточлена за умови обов’язкового проходження його графіка через ці експериментальні точки значило б старанне повторення припущених при вимірах похибок. Вихід з цього положення може бути знайдено шляхом вибору такого багаточлена, графік якого проходить близько від даних точок(рис.1.1, пунктирна лінія).

Одним з таких видів є середньоквадратичне наближення функції за допомогою багаточлена (1.1). При цьому m  n; випадок m = n відповідає інтерполяції. На практиці стараються підібрати апроксимуючий багаточлен якомога меншого

ступеня(як правило, m=1, 2, 3).

Мірою відхилення багаточлена g(x) від заданої функції f(x) на множині точок (xi,yi) (i=0,1,…,n) при середньоквадратичному наближенні є величина S, що дорівнює сумі квадратів різниці між значеннями багаточлена і функції в даних точках:



Для побудови апроксимуючого багаточлена необхідно підібрати коефіцієнти a0, a1,…,am так, щоб величина S була найменшою. В цьому і полягає метод найменших квадратів.



Інтерполяція, екстраполяція. Постановка задачі:

Припустимо, що задано різних точок площини:

(1.2)

Необхідно знайти функцію , значення якої при даних значеннях абсциси в точності дорівнюють відповідним ординатам заданих точок:



Тобто необхідно знайти лінію, що описується рівнянням і проходить через дану точку(рис.1.2).



Рис.1.2

Потрібно розрізняти два випадки:

  1. Інтерполяцію — відтворення проміжних значень функції на проміжку за рядом відомих її значень;

  2. Екстраполяцію — коли значення , що не увійшло у дослідження, лежить поза проміжком .

Очевидно, інтерполяція більш надійна, ніж екстраполяція.

Взагалі кажучи, існує нескінченне число ліній, що проходять через задану точку. Вимагаємо, щоб шукана лінія була найпростішою, тобто значення функції, що задає цю лінію, повинні знаходитися за допомогою найпростіших операцій(додавання, множення). Цій вимозі відповідають багаточлени(поліноми), тобто вирази виду:

(1.3)

Знаючи чисельні значення коефіцієнтів багаточлена, ми можемо знайти його ординату при будь-якому значенні змінної . В кінці кінців, з двох багаточленів домовимося вважати найпростішим той, ступінь якого нижче.

Отже, приходимо до задачі про поліноміальну інтерполяцію: нехай дано різних чисел і відповідних їм чисел , необхідно знайти багаточлен найменшого

можливого ступеня, що задовольняє умовам:



Інтерполяційний багаточлен Лагранжа для довільних вузлів:

Для рішення запропонованої задачі зафіксуємо одну ординату , а інші будемо вважати рівними нулю(рис.1.3), тобто заданим значенням абсцис ставляться у відповідність значення ординат

З властивостей багаточленів слідує, що багаточлен, який перетворюється в нуль в різних точках, тобто має різних коренів, повинен ділитися на кожну з різниць:



і отже, також і на добуток цих різниць, тобто його ступінь не може бути нижче .
В такому випадку багаточлен повинен мати вигляд:

(1.4)



Рис.1.3

З умови знаходимо значення const:

,

таким чином знаходимо

(1.5)

В отриманому виразі ніякої особливої переваги немає, ми можемо приписати цю особливу роль будь-якому , тобто якщо абсцисам поставити у відповідність значення , що вказані в будь-якій із наступних рядків:



то вираз для багаточлена, що приймає при відповідних значеннях абсцис численні значення, що виписані в одному із рядків, буде аналогічний розглянутому, тобто

(1.6)

Загальне рішення є суперпозицією(сумою) часних рішень (1.6)





або

(1.10)

В розглянутому випадку припускалося, що точки розміщені на проміжку довільно. Розглянемо формулу Лагранжа, для рівновіддалених значень абсцис.

Інтерполяційний багаточлен Лагранжа для рівновіддалених вузлів:

Нехай на проміжку задана система рівновіддалених вузлів якими проміжок ділиться на рівних частин

де

В цьому випадку інтерполяційний багаточлен Лагранжа будується на рівновіддалених вузлах та має більш зручний вигляд.

Позначимо , де . Звідки:







..................................................



Тобто в загальному випадку:

(1.11)

Використовуючи (1.11) та прийняте позначення отримаємо:

(1.12)

Враховуючи, що знайдемо:

(1.13)

Помітимо, що в (1.13) рівно рядків(-ий рядок відсутній); причому чисельні значення перших рядків додатні, а інші — від’ємні. Використовуючи (1.13), отримаємо:

тобто

(1.14)



З урахуванням (1.12) та (1.14) формула Лагранжа для рівновіддалених вузлів приймає вигляд:

(1.15)

Інтерполяційний багаточлен Ньютона для рівновіддалених вузлів

На практиці часто зустрічається випадок, коли інтерполяційна функція підбирається для таблиць з рівновіддаленими значеннями аргументу Розглянемо метод побудови інтерполюючої функції, що базується на обчисленні кінцевих різниць.

Кінцеві різниці:

Назвемо кінцевими різницями різниці між значеннями функції в сусідніх вузлах інтерполяції:



де

Отримані кінцеві різниці будемо називати різницями першого порядку. З різниць першого порядку отримаємо різниці другого порядку:



де

Повторюючи процедуру, отримаємо кінцеві різниці третього порядку:



Для кінцевих різниць -го порядку:



В результаті отримаємо таблицю кінцевих різниць:



Використовуючи поняття кінцевих різниць виведемо інтерполяційну формулу Ньютона для рівновіддалених вузлів

Інтерполяційна формула Ньютона

Поліном -ого ступеня(що має коренів)



перепишемо у вигляді



де — вузли інтерполяції.

Так як поліном вибирається таким чином, щоб — значення заданої функції співпадали з — значеннями інтерполюючої функції у вузлах, то, вважаючи знайдемо

1) Вважаючи знайдемо

2) Вважаючи знайдемо

звідки

3) Вважаючи знайдемо

звідки і т.д.

k-1) В загальному випадку і





звідки

Підставивши обчислювальні значення у вираз для багаточлена, отримаємо



(1.16)

Отриманий вираз називається інтерполяційною формулою Ньютона для рівновіддалених вузлів.

Результат роботи

1. Стандартний синусоїдальний сигнал з частотою, що дорівнює 2 Гц, апроксимований за допомогою:

а) Лінійних поліномів 1, 3, 5, 7 ступенів


б) Дробно-раціональних функцій 1-го і 2-го порядку (графік, що спадає, належить дробно-раціональній функції 1-го порядку, а параболічно- спадна парабола - дробно-раціональній функції 2-го порядку)



2. Стандартний прямокутний сигнал з частотою, що дорівнює 2 Гц, апроксимований за допомогою:

а) Лінійних поліномів 1, 3, 5, 7 ступенів


б) Дробно-раціональних функцій 1-го і 2-го порядку (графік, що спадає, належить дробно-раціональній функції 1-го порядку, а параболічно- спадна парабола - дробно-раціональній функції 2-го порядку)



3. Стандартний трикутний сигнал з частотою, що дорівнює 2 Гц, апроксимований за допомогою:

а) Лінійних поліномів 1, 3, 5, 7 ступенів


б) Дробно-раціональних функцій 1-го і 2-го порядку (графік, що спадає, належить дробно-раціональній функції 1-го порядку, а параболічно- спадна парабола - дробно-раціональній функції 2-го порядку)



Висновки

На цій лабораторній роботі ми розглянули інтерполяцію та апроксимацію даних. Навчилися представляти стандартні прямокутний, трикутний і синусоїдальний сигнали за допомогою стандартних функцій, а саме дробно-раціональної та лінійних поліномів 1,3,5,7 ступенів.

Схожі:

Інтерполяція та апроксимація даних iconЗавдання для індивідуальної роботи студентів з дисципліни «Прикладна гідрогазодинаміка» Визначити витрату рідини крізь криволінійний контур. Виконати лабораторну роботу №4 «Інтерполяція та апроксимація числових даних»
Виконати лабораторну роботу №4 «Інтерполяція та апроксимація числових даних» з посібника «Лабораторні роботи з курсу «Методи комп’ютерного...
Інтерполяція та апроксимація даних iconІнтерполяція координат точок осі шпари з метою організації комп’ютерної бази даних
Також зростають вимоги промисловості до вірогідності розвідницьких даних і точності їхнього графічного відображення
Інтерполяція та апроксимація даних icon1. інтерполяція 1 Лінійна інтерполяція
...
Інтерполяція та апроксимація даних icon1. інтерполяція 1 Лінійна інтерполяція
...
Інтерполяція та апроксимація даних iconКонструювання І дослідження математичних моделей поліноміальна апроксимація
Літнарович Р. М. Конструювання І дослідження математичних моделей. Поліноміальна апроксимація. Частина мегу, Рівне, 2009, -36 с
Інтерполяція та апроксимація даних iconЛабораторна робота №1 Дослідження та апроксимація вольт-амперних характеристик технологічних електронних гармат високовольтного тліючого розряду Мета роботи
Знайомство з електронно-променевими технологіями та з фізичними основами роботи елект­­­рон­них гармат високо­вольт­ного тлію­чо­го...
Інтерполяція та апроксимація даних iconНазва модуля: Обчислювальна математика та програмування
Обробка експериментальних даних. Інтерполяція функцій. Наближені методи обчислення визначених інтегралів. Наближені методи розв'язування...
Інтерполяція та апроксимація даних iconУрок № Тема: Основні поняття бази даних. Типи даних, що зберігаються в базі даних. Проектування бази даних і створення структури бази даних. Введення і редагування даних
Мета. Ознайомити учнів з основними поняттями бази даних, з типами даних. Формувати навички створення та редагування структури бази...
Інтерполяція та апроксимація даних iconЛекція №23 Тема: Банки даних План Компоненти банку даних. Банк даних є складною інформаційною системою
Банком даних (БнД) називають систему спеціальним чином організованих баз даних, програмних, технічних, мовних і організаційно методичних...
Інтерполяція та апроксимація даних icon16. Бази даних
Бази даних. Моделі даних. Поняття бази даних. Моделі бази даних (ієрархічна, мережева та реляційна). Проектування баз даних. Модель...
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка