Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Програма курсу "Диференціальні рівняння"




0.5 Mb.
НазваПрограма курсу "Диференціальні рівняння"
Сторінка1/4
Дата конвертації09.11.2012
Розмір0.5 Mb.
ТипПрограма
  1   2   3   4
Змістовна програма курсу

"Диференціальні рівняння" (математика)

Виникнення теорії диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння у прикладних задачах. Основні поняття та об’єкти.

Розв’язування деяких типів диференціальних рівнянь першого порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Лінійні рівняння. Рівняння Бернуллі. Рівняння Ріккаті. Квазіоднорідні рівняння.

Скалярне автономне рівняння першого порядку. Існування та властивості розв'язку задачі Коші.

Елементи якісного аналізу лінійного рівняння. Достатні умови існування обмеженого на всій дійсній осі розвязку. Скалярне лінійне періодичне рівняння.

Рівняння у повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

Існування та єдиність розв’язку задачі Коші. Теорема існування Пеано. Теорема Пікара існування та єдності розв’язку. Продовження розв’язку задачі Коші.

Елементи геометричного аналізу диференціального рівняння першого порядку. Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку. Поле напрямів. Інтегральні криві. Схема дослідження поведінки інтегральних кривих. Теорема Кнезера. Теорема порівняння.

Рівняння у симетричній формі та двовимірні автономні системи. Векторне поле. Автономна система. Класифікація фазових портретів автономних систем у околі положення рівноваги у лінійному наближенні. Вузол. Сідло. Дикритичний вузол. Вироджений вузол. Фокус. Центр. Про коректність методу лінеаризації. Теорема Гробмана-Хартмана. Про проблему центра и фокуса.

Неявні диференціальні рівняння. Теорема існування та єдиності розв’язку. Метод параметризації. Рівняння Клеро і Лагранжа. Геометрія неявного рівняння. Дискримінантні криві та особливі розв’язки.

Інтегрування рівнянь вищого порядку. Зниження порядку окремих типів диференціальних рівнянь вищого порядку. Рівняння, що не містять шукану функцію у явному вигляді.. Автономні рівняння. Рівняння, однорідні відносно шуканої функції та її похідних. Квазіоднорідні рівняння. Рівняння у вигляді повної похідної.

Загальна теорія лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків і загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння вищого порядку. Побудова лінійного однорідного рівняння за його фундаментальною системою розв’язків. Формула Остроградського-Ліувілля.

Лінійні однорідні рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Випадки простих і кратних коренів характеристичного многочлена. Рівняння Ейлера. Лінійні неоднорідні рівняння. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами і квазіполіномом у правцй частині. Метод невизначених коефіцієнтів. Нерезонансний та резонансний випадки. Метод комплексных амплітуд.

Лінійні однорідні системи. Теорема існування та єдності розв’язку лінійної однорідної системи. Лінійні системи зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера. Узагальнення методу Ейлера. Матрична експонента.

Лінійні неоднорідні системи. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Лінійні неоднорідні системи зі сталою матрицею і квазіполіноміальним вільним членом. Метод невизначених коефіцієнтів.

Коливність розв’язків лінійних однорідних рівнянь другогу порядку. Основні теореми: теорема порівняння, теорема Штурма, теорема про неколивність.

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з регулярними особливими точками. Відшукання розв’язків за допомогою узагальнених степеневих рядів. Рівняння Гаусса, Лежандра и Бесселя.

Крайові задачі. Функція Гріна.

Основні властивості розв’язків систем диференціальних рівнянь. Теорема Пеано. Єдиність та продовжуваність розв’язку. Властивості розв’язків нормальної системи як функції початкових даних та параметрів. Неперервність у природній області визначення. Диференційовність розв’язку задачі Коші за початковими даними і параметрами. Асимптотичні розвинення розв’язків диференціальних рівнянь..

Теорія перших інтегралів. Означення, геометрична інтерпретація та аналітичний критерій першого інтеграла. Функціонально незалежні перші інтеграли. Повний набір перших інтегралів. Розв’язання задачі Коші за допомогою повного набору перших интегралів. Перші інтеграли автономної системи та системи у симетричній формі..

Основні поняття теорії стійкості за Ляпуновим. Стійкість лінійних систем. Стійкість лінійної системи зі сталою матрицею. Теорема про стійкість за першим наближенням. Функції Ляпунова. Теореми Ляпунова про стійкість. Теорема Четаєва про нестійкість.

Диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку. Лінійні та квазілінійні диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку. Метод характеристик. Задача Коші.

ЛІТЕРАТУРА

1. Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння. - Київ: Либідь, 2003 (3-е видання Київ: ВПЦ “Київський університет”, 2010)

2. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Диференціальні рівняння в задачах – Київ:Либідь, 2003

3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1985.

4. Диференціальні рівняння. Завдання для самостійної роботи./ Упорядн. В.М. Бурим та ін. – К.: ВПЦ Київський університет, 2000.

5. Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння першого та вищих порядків”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1981.

6. Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння вищого порядку та системи диференціальних рівнянь”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1982.

7. Перестюк М.О., Свіщук М.Я. Збірник задач з диференціальних рівнянь – Київ: Либідь, 2004.

8. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М. Наука, 1984.

9. Кривошея С.А., Перестюк М.О., Бурим В.М. Диференціальні та інтегральні рівняння – Київ: Либідь, 2004.

10. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: ГИФМЛ, 1958.

11. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высш. шк., 1967.

12. Іщук В.В., Позур С.В., Капустян О.В., Мельничук О.В. Крайові задачі – К., 2005. – 35с.
Змістовна програма курсу

"Диференціальні рівняння" (механіка)

Виникнення теорії диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння у прикладних задачах. Основні поняття та об’єкти.

Розв’язування деяких типів диференціальних рівнянь першого порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Лінійні рівняння. Рівняння Бернуллі. Рівняння Ріккаті. Квазіоднорідні рівняння.

Скалярне автономне рівняння першого порядку. Існування та властивості розв'язку задачі Коші.

Елементи якісного аналізу лінійного рівняння. Достатні умови існування обмеженого на всій дійсній осі розвязку. Скалярне лінійне періодичне рівняння.

Рівняння у повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

Існування та єдиність розв’язку задачі Коші. Теорема існування Пеано. Теорема Пікара існування та єдності розв’язку. Продовження розв’язку задачі Коші.

Елементи геометричного аналізу диференціального рівняння першого порядку. Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку. Поле напрямів. Інтегральні криві. Схема дослідження поведінки інтегральних кривих. Теорема Кнезера. Теорема порівняння.

Рівняння у симетричній формі та двовимірні автономні системи. Векторне поле. Автономна система. Класифікація фазових портретів автономних систем у околі положення рівноваги у лінійному наближенні. Вузол. Сідло. Дикритичний вузол. Вироджений вузол. Фокус. Центр. Про коректність методу лінеаризації. Теорема Гробмана-Хартмана. Про проблему центра и фокуса.

Неявні диференціальні рівняння. Теорема існування та єдиності розв’язку. Метод параметризації. Рівняння Клеро і Лагранжа. Геометрія неявного рівняння. Дискримінантні криві та особливі розв’язки.

Інтегрування рівнянь вищого порядку. Зниження порядку окремих типів диференціальних рівнянь вищого порядку. Рівняння, що не містять шукану функцію у явному вигляді.. Автономні рівняння. Рівняння, однорідні відносно шуканої функції та її похідних. Квазіоднорідні рівняння. Рівняння у вигляді повної похідної.

Загальна теорія лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків і загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння вищого порядку. Побудова лінійного однорідного рівняння за його фундаментальною системою розв’язків. Формула Остроградського-Ліувілля.

Лінійні однорідні рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Випадки простих і кратних коренів характеристичного многочлена. Рівняння Ейлера. Лінійні неоднорідні рівняння. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами і квазіполіномом у правцй частині. Метод невизначених коефіцієнтів. Нерезонансний та резонансний випадки. Метод комплексных амплітуд.

Лінійні однорідні системи. Теорема існування та єдності розв’язку лінійної однорідної системи. Лінійні системи зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера. Узагальнення методу Ейлера. Матрична експонента.

Лінійні неоднорідні системи. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Лінійні неоднорідні системи зі сталою матрицею і квазіполіноміальним вільним членом. Метод невизначених коефіцієнтів.

Коливність розв’язків лінійних однорідних рівнянь другогу порядку. Основні теореми: теорема порівняння, теорема Штурма, теорема про неколивність.

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з регулярними особливими точками. Відшукання розв’язків за допомогою узагальнених степеневих рядів. Рівняння Гаусса, Лежандра и Бесселя.

Крайові задачі. Функція Гріна.

Основні властивості розв’язків систем диференціальних рівнянь. Теорема Пеано. Єдиність та продовжуваність розв’язку. Властивості розв’язків нормальної системи як функції початкових даних та параметрів. Неперервність у природній області визначення. Диференційовність розв’язку задачі Коші за початковими даними і параметрами. Асимптотичні розвинення розв’язків диференціальних рівнянь..

Теорія перших інтегралів. Означення, геометрична інтерпретація та аналітичний критерій першого інтеграла. Функціонально незалежні перші інтеграли. Повний набір перших інтегралів. Розв’язання задачі Коші за допомогою повного набору перших интегралів. Перші інтеграли автономної системи та системи у симетричній формі..

Основні поняття теорії стійкості за Ляпуновим. Стійкість лінійних систем. Стійкість лінійної системи зі сталою матрицею. Теорема про стійкість за першим наближенням. Функції Ляпунова. Теореми Ляпунова про стійкість. Теорема Четаєва про нестійкість.

Диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку. Лінійні та квазілінійні диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку. Метод характеристик. Задача Коші.

ЛІТЕРАТУРА

1. Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння. - Київ: Либідь, 2003 (3-е видання Київ: ВПЦ “Київський університет”, 2010)

2. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Диференціальні рівняння в задачах – Київ:Либідь, 2003

3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1985.

4. Диференціальні рівняння. Завдання для самостійної роботи./ Упорядн. В.М. Бурим та ін. – К.: ВПЦ Київський університет, 2000.

5. Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння першого та вищих порядків”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1981.

6. Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння вищого порядку та системи диференціальних рівнянь”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1982.

7. Перестюк М.О., Свіщук М.Я. Збірник задач з диференціальних рівнянь – Київ: Либідь, 2004.

8. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. – М. Наука, 1984.

9. Кривошея С.А., Перестюк М.О., Бурим В.М. Диференціальні та інтегральні рівняння – Київ: Либідь, 2004.

10. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: ГИФМЛ, 1958.

11. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высш. шк., 1967.

12. Іщук В.В., Позур С.В., Капустян О.В., Мельничук О.В. Крайові задачі – К., 2005. – 35с.
Змістовна програма курсу

"Диференціальні рівняння" (статистика)

Виникнення теорії диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння у прикладних задачах. Основні поняття та об’єкти.

Розв’язування деяких типів диференціальних рівнянь першого порядку. Рівняння з відокремлюваними змінними. Лінійні рівняння. Рівняння Бернуллі. Рівняння Ріккаті. Квазіоднорідні рівняння.

Скалярне автономне рівняння першого порядку. Існування та властивості розв'язку задачі Коші.

Елементи якісного аналізу лінійного рівняння. Достатні умови існування обмеженого на всій дійсній осі розвязку. Скалярне лінійне періодичне рівняння.

Рівняння у повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

Існування та єдиність розв’язку задачі Коші. Теорема існування Пеано. Теорема Пікара існування та єдності розв’язку. Продовження розв’язку задачі Коші.

Елементи геометричного аналізу диференціального рівняння першого порядку. Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку. Поле напрямів. Інтегральні криві. Схема дослідження поведінки інтегральних кривих. Теорема Кнезера. Теорема порівняння.

Рівняння у симетричній формі та двовимірні автономні системи. Векторне поле. Автономна система. Класифікація фазових портретів автономних систем у околі положення рівноваги у лінійному наближенні. Вузол. Сідло. Дикритичний вузол. Вироджений вузол. Фокус. Центр. Про коректність методу лінеаризації. Теорема Гробмана-Хартмана. Про проблему центра и фокуса.

Неявні диференціальні рівняння. Теорема існування та єдиності розв’язку. Метод параметризації. Рівняння Клеро і Лагранжа. Геометрія неявного рівняння. Дискримінантні криві та особливі розв’язки.

Інтегрування рівнянь вищого порядку. Зниження порядку окремих типів диференціальних рівнянь вищого порядку. Рівняння, що не містять шукану функцію у явному вигляді.. Автономні рівняння. Рівняння, однорідні відносно шуканої функції та її похідних. Квазіоднорідні рівняння. Рівняння у вигляді повної похідної.

Загальна теорія лінійних рівнянь. Фундаментальна система розв’язків і загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння вищого порядку. Побудова лінійного однорідного рівняння за його фундаментальною системою розв’язків. Формула Остроградського-Ліувілля.

Лінійні однорідні рівняння n-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Випадки простих і кратних коренів характеристичного многочлена. Рівняння Ейлера. Лінійні неоднорідні рівняння. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Лінійні неоднорідні рівняння зі сталими коефіцієнтами і квазіполіномом у правцй частині. Метод невизначених коефіцієнтів. Нерезонансний та резонансний випадки. Метод комплексных амплітуд.

Лінійні однорідні системи. Теорема існування та єдності розв’язку лінійної однорідної системи. Лінійні системи зі сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера. Узагальнення методу Ейлера. Матрична експонента.

Лінійні неоднорідні системи. Метод варіації довільних сталих (метод Лагранжа). Лінійні неоднорідні системи зі сталою матрицею і квазіполіноміальним вільним членом. Метод невизначених коефіцієнтів.

Коливність розв’язків лінійних однорідних рівнянь другогу порядку. Основні теореми: теорема порівняння, теорема Штурма, теорема про неколивність.

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з регулярними особливими точками. Відшукання розв’язків за допомогою узагальнених степеневих рядів. Рівняння Гаусса, Лежандра и Бесселя.

Крайові задачі. Функція Гріна.

Основні властивості розв’язків систем диференціальних рівнянь. Теорема Пеано. Єдиність та продовжуваність розв’язку. Властивості розв’язків нормальної системи як функції початкових даних та параметрів. Неперервність у природній області визначення. Диференційовність розв’язку задачі Коші за початковими даними і параметрами. Асимптотичні розвинення розв’язків диференціальних рівнянь..

Теорія перших інтегралів. Означення, геометрична інтерпретація та аналітичний критерій першого інтеграла. Функціонально незалежні перші інтеграли. Повний набір перших інтегралів. Розв’язання задачі Коші за допомогою повного набору перших интегралів. Перші інтеграли автономної системи та системи у симетричній формі..

Основні поняття теорії стійкості за Ляпуновим. Стійкість лінійних систем. Стійкість лінійної системи зі сталою матрицею. Теорема про стійкість за першим наближенням. Функції Ляпунова. Теореми Ляпунова про стійкість. Теорема Четаєва про нестійкість.

Диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку. Лінійні та квазілінійні диференціальні рівняння у частинних похідних першого порядку. Метод характеристик. Задача Коші.

ЛІТЕРАТУРА

1. Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. Диференціальні рівняння. - Київ: Либідь, 2003

2. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк М.О. Диференціальні рівняння в задачах – Київ:Либідь, 2003

3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1985.

4. Диференціальні рівняння. Завдання для самостійної роботи./ Упорядн. В.М. Бурим та ін. – К.: ВПЦ Київський університет, 2000.

5. Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння першого та вищих порядків”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1981.

6. Учбові завдання та методичні вказівки до практичних занять з курсу “Диференціальні рівняння” (Розділ “Диференціальні рівняння вищого порядку та системи диференціальних рівнянь”)/ Укладачі Волкова В.О., Парасюк І.О. – К.: КДУ, 1982.

7. Перестюк М.О., Свіщук М.Я. Збірник задач з диференціальних рівнянь – Київ: Либідь, 2004.

8. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. – М.: ГИФМЛ, 1958.

9. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высш. шк., 1967.
  1   2   3   4

Схожі:

Програма курсу \"Диференціальні рівняння\" iconДиференціальні рівняння першого порядку, диференціальні рівняння вищого порядку, лінійні диференціальні рівняння, системи диференціальних рівнянь
Наведемо декілька основних визначень теорії диференціальних рівнянь, що будуть використовуватися надалі
Програма курсу \"Диференціальні рівняння\" iconЗмістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння
Лндр другого порядку зі сталими коефіцієнтами І право частиною спеціального вигляду
Програма курсу \"Диференціальні рівняння\" icon«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей
Методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни «Вища математика» на тему «Диференціальні рівняння, що допускають зниження...
Програма курсу \"Диференціальні рівняння\" iconТип модуля: обов’язковий Семестр: II обсяг модуля
Числові ряди та їх властивості. Знакозмінні ряди. Знакопочережні ряди. Функціональні ряди та рівномірна збіжність. Степеневі ряди...
Програма курсу \"Диференціальні рівняння\" iconЛекція 2 Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані
Означення Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння 1 називається порядком диференціального рівняння
Програма курсу \"Диференціальні рівняння\" iconРозділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв'язані відносно похідної
Означення Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння 1 називається порядком диференціального рівняння
Програма курсу \"Диференціальні рівняння\" iconТема Питання до практичного заняття
Диференціальні рівнян-ня І поряд-ку: загальні поняття. Диференціальні рівняння з відокремле-ними та відокремлюва-ними змінними
Програма курсу \"Диференціальні рівняння\" iconПитання з курсу “Диференціальні рівняння” (спеціальність – прикладна математика)
Загальні визначення понять диференціальних рівнянь першого порядку. Поняття розв’язку, загального розв’язку, інтегралу диференціального...
Програма курсу \"Диференціальні рівняння\" iconВ. Н. Каразіна Кафедра диференціальних рівнянь та керування " затверджую " Перший проректор " " 20 р. Робоча програма
Диференціальні рівняння. Робоча програма навчальної дисципліни для студентів за напрямом підготовки 040202 Механіка
Програма курсу \"Диференціальні рівняння\" iconВ. Н. Каразіна Кафедра диференціальних рівнянь та керування " затверджую " Перший проректор " " 20 р. Робоча програма
Диференціальні рівняння. Робоча програма навчальної дисципліни для студентів за напрямом підготовки 040302 Інформатика
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка