Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Курсова робота




187.16 Kb.
НазваКурсова робота
Дата конвертації10.10.2012
Розмір187.16 Kb.
ТипДокументы
Зміст
1.1. Формули прямокутників і трапеції.
1.2. Формула Сімпсона
1.3. Параболічне інтерполювання.
1.4. Дроблення проміжку.
1.5. Залишковий член формули прямокутників.
1.6. Залишковий член формули трапеції.
1.7. Залишковий член формули Сімпсона.
2. Програма „ Порівняння методів Сімпсона, прямокутників, трапецій.” 2.1. Проект програми
Вибір середовища реалізації
Аналіз функціональності програми
2.2. Інструкція користувачу Програма „ Порівняння методів Сімпсона, прямокутників, трапецій.”
Вікно задачі
Використана література.


Міністерство освіти і науки України

Рівненський економіко-гуманітарний та інженерний коледж


КУРСОВА РОБОТА

на тему:

Порівняння методів Сімпсона, прямокутників, трапецій при чисельному інтегруванні функцій”

Зміст

Вступ ……………………………………………………………………………...3

1.Загальна постановка і аналіз.

1.1 Формули прямокутників і трапеції ………………….…………….4

1.2. Формула Сімпсона …………………………………………………...8

1.3 Параболічне інтерполювання ……………………………………...9

1.4 Дроблення проміжку ………………………………………………..13

1.5 Залишковий член формули прямокутників …………………..15

1.6 Залишковий член формули трапеції ……………………………18

1.7 Залишковий член формули Сімпсона ………………………….20

2.Програма Порівняння методів Сімпсона, прямокутників, трапецій

2.1. Проект програми …………………………………………………….23

2.2. Інструкція користувачу …………………………………….………25

Висновок ……………………………………………………………….………27

Використана література …………………………………………………….28

Додатки ………………………………………………………………..………..29

Вступ.


При розв’язуванні математичних, інженерних, фізичних задач досить часто виникає потреба обчислювати визначені інтеграли. Лише в небагатьох випадках для їх обчислення можна отримати аналітичні вирази для первісних підінтегральних функцій. Тому в більшості випадків користуються чисельними методами інтегрування.

Чисельне інтегрування – одна з найбільш важливих тем обчислювальної ма­те­ма­ти­ки.

В роботі ми розглянемо наступні методи чисельного інтегрування:

  1. лівих та правих прямокутників;

  2. трапецій;

  3. Сімпсона;

    Для демонстрації роботи методів чисельного інтегрування слід розробити програму, за допомогою якої буде автоматизовано інтегрування фіксованого переліку елементарних функцій.

В роботі слід виконати наступні завдання:

  1. розглянути теоретичні основи найпоширеніших методів чисельного інтегрування;

  2. розробити алгоритми знаходження інтегралів відповідно до кожного із розглянутих методів;

  3. розробити програму для демонстрації реалізації методів чисельного інтегрування;

1. Загальна постановка й аналіз.

1.1. Формули прямокутників і трапеції.


Нехай треба обчислити значення визначеного інтегралу , де є деяка задана на проміжку неперервна функція. Існує багато прикладів обчислення подібних інтегралів, або за допомогою первісної, якщо вона виражається в скінченому вигляді, або ж – мінуючи первісну – за допомогою різних прийомів, як правило, штучних. Потрібно відмітити, однак, що всім цим вичерпується вузький клас інтегралів; за його межами зазвичай вдаються до різних методів наближеного обчислення.

В даній роботі можна ознайомитися з основними із цих методів, в яких наближені формули для інтегралів складаються по деякому числу значень підінтегральної функції, обчислених для ряду (зазвичай рівновіддалених) значень незалежної змінної.

Перші формули, які сюди відносяться, простіше всього отримуються із геометричних міркувань. Витлумачуючи визначений інтеграл як площу деякої фігури, яка обмежена кривою , ми і ставимо перед собою задачу знаходження цієї площі.

Перш за все, вдруге використовуючи ту думку, яка привела нас до самого поняття про визначений інтеграл, можна розбити усю фігуру (мал. 1) на смуги, однієї і той же ширини , а потім кожну смугу наближено замінити прямокутником, за висоту якого прийнята будь-яка із його ординат. Це приведе нас до формули:

,

де . Тут шукана площа криволінійної фігури замінюється площею деякої ступінчатої фігури, яка складається із прямокутників (або ж, можна сказати, що визначений інтеграл замінюється інтегральною сумою). Ця наближена формула і називається формулою прямокутників.



Мал. 1




На практиці зазвичай беруть якщо відповідну середню ординату позначити через , то формула перепишеться у вигляді
. (1)
Надалі, кажучи про формулу прямокутників, ми будемо мати на увазі якраз цю формулу.

Геометричні міркування природно приводять і до другої, наближеної формули, що часто використовується. Замінивши дану криву вписаною в неї ламаною, з вершинами у точках , де . Тоді наша криволінійна фігура заміниться іншою, яка складається із ряду трапецій (мал2.). Якщо, як і раніше рахувати, що
проміжок розбитий на рівні частини, то площі цих трапецій будуть
.

Додаючи, прийдемо до нової наближеної формули
. (2)
Це так звана формула трапецій.

Можна показати, що при зростанні до нескінченності похибка формули прямокутників і формули трапецій нескінченно зменшується. Таким чином, при достатньо великому обидві ці формули відтворюють шукане значення з довільним рівнем точності.

1.2. Формула Сімпсона

Якщо для кожної пари відрізків побудувати многочлен другого ступеня, потім про інтегрувати його і скористатися властивістю адитивності інтеграла, то одержимо формулу Сімпсона.

Розглянемо підінтегральну функцію на відрізку . Замінимо цю підінтегральну функцію інтерполяційним многочлен Лагранжа другого ступеня, що збігає з у крапках :



Проінтегруємо: :



Формула:



і називається формулою Сімпсона.

Отримане для інтеграла значення збігається із площею криволінійної трапеції, обмеженою віссю , прямими , і параболою, що проходить через точки

1.3. Параболічне інтерполювання.


Для наближеного обчислення інтеграла можна спробувати замінити функцію близьким до неї многочленом

(3)

і покласти



Можна сказати, що тут – при обрахуванні площі – дана крива замінюється на параболу - го порядку (3), в зв’язку з чим цей процес отримав назву параболічного інтерполювання.

Сам вибір інтерполюючуго многочлена частіше всього виконують наступним чином. У проміжку беруть значень незалежної змінної і підбирають многочлен так, щоб при усіх взятих значеннях його значення співпадало зі значенням функції . Цією умовою, як ми знаємо, є многочлен , і його вираз дається інтерполяційною формулою Лагранжа:



При інтерполюванні виходить лінійний многочлен, відносно значень вираз, коефіцієнти якого вже не залежать від цих значень. Вирахувавши коефіцієнти , можна їх використовувати для будь-якої функції в даному проміжку .

В найпростішому випадку, при , функція просто замінюється сталою , де – будь-яка точка у проміжку , скажемо середня: .

Тоді наближено:

(4)

Геометрично – площа криволінійної фігури замінюється тут площею прямокутника з висотою, яка рівна середній її ординаті.

При функція замінюється лінійною функцією , яка має однакові з нею значення при и . Якщо взяти , , то

(5)

і, як легко обчислити,



Таким чином, тут ми наближено вважаємо



На цей раз площа криволінійної фігури замінюється площею трапеції: замість кривої береться хорда, яка сполучає її кінці.

Менш тривіальний результат отримаємо взявши . Якщо покласти , , , то інтерполяційний многочлен буде мати вигляд

(7)
За допомогою легкого обчислення вираховуємо

і, аналогічно
,

.
Таким чином, приходимо до наближеної формули
.

Тут площа фігури під даною кривою замінюється площею фігури, яка обмежена звичайною параболою (з вертикальною віссю), що проходить через крайні і середню точки кривої.

Збільшуючи степінь інтерполяційного многочлена, тобто проводячи параболу (3) через все більше число даної кривої, можна отримати більшу точність. Але більш практичним виявляється інший шлях, якій ґрунтується на поєднанні ідеї параболічного інтерполювання із ідеєю дроблення.

1.4. Дроблення проміжку.


При обчисленні інтегралу можна зробити так. Розіб’ємо спочатку проміжок на деяке число, , рівних проміжків
,
в зв’язку з чим, шуканий інтеграл постане у вигляді суми
(9)
Тепер же до кожного із цих проміжків застосуємо параболічне інтерполювання, тобто станемо обчислювати інтеграли (9) по одній із наближених формул – (4), (6), (8).

Виходячи із формул (4) або (6), ми таким шляхом знов отримаємо вже відомі нам формули прямокутників і трапецій, (1) і (2).

Застосуємо тепер до інтегралів (9) формулу (8), при цьому для стислості запишемо, як і вище,
, , .
Ми отримаємо:
,

,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
Зрештою, додаючи почленно ці рівності, прийдемо до формули
(10)
Вона носить назву формули Сімпсона (Th. Simpson); цією формулою користуються для наближеного обчислення інтегралів частіш, аніж формулами прямокутників і трапецій, бо вона – при тих же затратах – дає зазвичай більш точний результат.

1.5. Залишковий член формули прямокутників.


Почнемо з формули (4). Припустимо, що у проміжку функція має неперервні похідні перших двох порядків. Тоді, розкладаючи (по формулі Тейлора) за степенями двочлена аж до його квадрату, будемо мати для всіх значень в
,

де міститься між та і залежить від .

Якщо про інтегрувати цю рівність у проміжку від до , то другий член з права зникне, бо

(11)
Таким чином, отримаємо
,

так, що залишковий член формули (4), який поновлює її точність має вигляд
.
Позначивши через і , відповідно найменше та найбільше значення неперервної функції у проміжку і користуючись тим, що другий множник підінтегрального виразу не змінює знака, за узагальненою теоремою про середнє можемо написати

,

де міститься між точками и . По відомій властивості неперервної функції, знайдеться в така точка , що , і остаточно:

. (12)
Якщо зараз розділити проміжок на рівних частин, то для кожного часткового проміжку будемо мати точну формулу:


.
Додавши ці рівності (при ) почленно отримаємо при звичайних скорочених позначеннях
,

де вираз:



і є залишковий член формули прямокутників (1). Так як вираз:


також знаходиться між і , то і він представляє одне із значень функції .

Тому остаточно маємо
(13).
При зростанні цей додатковий член спадає приблизно як .

1.6. Залишковий член формули трапеції.


Займемось тепер формулою (6) при попередніх здогадках відносно функції . Скориставшись інтерполяційною формулою Лагранжа із залишковим членом можемо написати
.
Інтегруючи цю формули від до , знайдемо
,

так що залишковий член формули (6) буде
.
Як і вище, і користуючись тим, що другий множник підінтегральної функції і тут не змінює знака, знайдемо
.
Для випадку ділення проміжку на рівних частин
(14).
Таким є залишковий член формули трапецій (2). При зростанні він також зменшується приблизно як . Ми бачимо, що застосування формули трапецій приводить до похибки того ж порядку, що і для формули прямокутників.

1.7. Залишковий член формули Сімпсона.


Звернемося, до формули (8). Можна було б, аналогічно тому, як це було зроблено вище, знов скористатись формулою Лагранжа з залишковим членом і покласти:
(15).
Проінтегрувавши рівність (15), ми не змогли б спростити інтегральний вираз для додаткового члену за допомогою теореми про середнє, бо вираз в підінтегральній функції вже змінює знак на проміжку . Тому ми зробимо інакше.

Вираз:

,

яким би не було число , в точках , , приймає одні і тіж значення, що і функція . Легко підібрати число так, щоб і похідна цього виразу при співпадала з похідною . Таким чином, при цьому значенні ми маємо не що інше, як інтерполяційний многчлен Ерміта, який відповідає простим вузлам , і двократному вузлу . Скориставшись формулою Ерміта з залишковим членом – в припущенні існування для функції похідних до четвертого порядку включно – отримаємо:

.
Тепер проінтегрувавши цю рівність від до ; ми знайдемо, що



так як
.
Якщо припустити похідну неперервною, то, як і в попередніх випадках, залишковий член формули (8)
,

користуючись тим, що другий множник в підінтергальному виразі не змінює знака, можна підставити в такому вигляді:


.
Якщо проміжок розділити на рівних частин, то – для формули Сімпсона (10) – отримаємо залишковий член у вигляді
(16).
При зростанні цей вираз зменшується приблизно як ; таким чином, формула Симпсона дійсно більш вигідна, ніж попередні дві формули.

2. Програма „ Порівняння методів Сімпсона,

прямокутників, трапецій.”

2.1. Проект програми

Концепція програми


Головним завданням програми є розв’язування задачі чисельного інтегрування, сформульованої в розділі 1.

Фактично, програма повинна забезпечувати порівняння ефективності та точності різних методів інтегрування.

Результати роботи програми повинні бути представлені в табличному форматі.

Програма також повинна мати інтуїтивно зрозумілий інтерфейс, характерний для сучасних Windows-програм, що буде запорукою ефективного її використання.

Вибір середовища реалізації


Вибір середовища реалізації проекту є однією з основних задач процесу розробки програмних продуктів.

Вибір середовища реалізації має дві складові:

  1. операційна система, під управлінням якої працюватиме програмний продукт;

  1. система програмування, за допомогою якої роз­роб­лятиметься програма.

Програма призначена для роботи під управлінням операційної системи Windows XP.

Вибір цієї ОС пов’язаний з тим, що зараз на переважній більшості персональних комп’ютерів використовується саме ця система або системи, споріднені з нею. Тому такий вибір забезпечуватиме можливість роботи з програмою на більшості з робочих станцій.

Програма розроблятиметься за допомогою візуальної системи програмування Delphi7.

Причинами такого вибору є наступні особливості системи Delphi7:

    1) розробка програмних продуктів для платформи Win32;

    2) візуальна розробка графічного інтерфейсу користувача;

  1. підтримка об’єктно-орієнтованої технології розробки програм­них продуктів;

  2. простота реалізації програмного коду засобами мови Object Pascal;

  3. популярність Delphi7 серед розробників програмного забезпечення.

Наступні етапи проектування програми та розробка програмного коду відбуватимуться відповідно до вибраного середовища реалізації.

Аналіз функціональності програми


Визначимо основні функції програми:

  1. розв’язування задачі, поставленої в розділі 1;

  1. підтримка таких методів інтегрування: прямо­кутників, трапецій, Сімпсона,;

2.2. Інструкція користувачу

Програма „ Порівняння методів Сімпсона, прямокутників, трапецій.”


Програма призначена для демонстрації застосування методів чисельного інтегрування до інтегрування елементарних функцій. Тобто в програмі реалізовано задачу чисельного інтегрування, поставлену в розділі 1.

Програма дозволяє обчислювати визначені інтеграли за допомогою таких чисельних методів:

1) лівих прямокутників;

2) трапецій;

3) Сімпсона;

Вікно задачі


У вікні задачі задається умова та виводяться результати обчислень (рис. 1).

Вікно задачі складається з таких частин:

1) межі інтегрування;

2) підінтегральна функція;

4) кількість точок розбиття;

6) значення інтегралу.

В двох полях з групи „Межі інтегрування” вказуються відповідно права та ліва границі інтегрування.

В програмі передбачено фіксований набір підінтегральних функцій. Вибрати її можна із відповідного списку.

Точність інтегрування визначається кількістю точок розбиття відрізка. Крок інтегрування не задається користувачем, а визначається відповідно до кількості точок розбиття.



Рис 1.

Висновок.


У такий спосіб очевидно, що при обчисленні певних інтегралів за допомогою квадратурних формул, не дає нам точного значення, а тільки наближене.

Щоб максимально наблизитися до достовірного значення інтеграла потрібно вміти правильно вибрати метод і формулу, по якій буде вестися розрахунок.

Хоча чисельні методи й не дають дуже точного значення інтеграла, але вони дуже важливі, тому що не завжди можна вирішити завдання інтегрування аналітичним способом.

Використана література.


  1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968.

  2. Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам.
    М.: 1979.

  3. Математический практикум. М.: 1960.

  4. Крилов В.И. “Наближені обчислення інтегралів“ - М. : Фізмат.

  5. Калиткин Н.Н. Численные методы. Главная редакция физико-математической литературы «Наука», М., 1978. – 512 с.

  6. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычисли­тель­ные методы. Главная редакция физико-математической литературы «Наука», М., 1976. – 302 с.

  7. Фаронов В.В. Система программирования Delphi. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 912 с.

Додатки


Додаток 1:

Результати роботи програми
1) в межах від 0 до 1

n=1000

Метод Сімпсона 3,33333333333333E-7

Метод трапецій 2,15219773265892E-307

Метод прямокутників 2,15219773265892E-307
2) в межах від 0 до 1

n=1000

Метод Сімпсона 0,841416880687773

Метод трапецій 0,841929771178751

Метод прямокутників 0,842159620025817
3) в межах від 0 до 1

n=1000

Метод Сімпсона 0,332001999333334

Метод трапецій 0,332335499

Метод прямокутників 0,331835499
4) в межах від 0 до 1

n=1000

Метод Сімпсона 0,248669498000667

Метод трапецій 0,249003247001001

Метод прямокутників 0,248503247001001
5) в межах від 0 до

n=1000

Метод Сімпсона 0,498667666666667

Метод трапецій 0,499001

Метод прямокутників 0,498501

Додаток 2:

Текст програми

unit Integral;
interface
uses

Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

Dialogs, ExtCtrls, StdCtrls, Spin, Menus, Grids;
type

TForm1 = class(TForm)

GroupBox1: TGroupBox;

Edit2: TEdit;

Edit3: TEdit;

GroupBox3: TGroupBox;

Edit5: TEdit;

MainMenu1: TMainMenu;

N1: TMenuItem;

N2: TMenuItem;

N5: TMenuItem;

Button1: TButton;

N3: TMenuItem;

N4: TMenuItem;

StringGrid1: TStringGrid;

GroupBox2: TGroupBox;

ComboBox1: TComboBox;

Label1: TLabel;

procedure N2Click(Sender: TObject);

procedure Button1Click(Sender: TObject);

procedure N4Click(Sender: TObject);

procedure FormCreate(Sender: TObject);

procedure N5Click(Sender: TObject);

private

{ Private declarations }

public

{ Public declarations }

Function F(x:real):real;

end;
var

Form1: TForm1;

var

a,b,h,x,s1,s2,s3:real;

implementation
uses Unit2;
{$R *.dfm}
Function TForm1.F(x:real):real;

begin

If ComboBox1.ItemIndex=0 Then

Begin

F:=sin(x);

End

Else If ComboBox1.ItemIndex=1 Then

Begin

F:=cos(x);

End

Else If ComboBox1.ItemIndex=2 Then

Begin

F:=x*x*x;

End

Else If ComboBox1.ItemIndex=3 Then

Begin

F:=x;

End

Else If ComboBox1.ItemIndex=4 Then

Begin

F:=x*x;

End;

End;
procedure TForm1.N2Click(Sender: TObject);

begin

s1:=0;

s2:=0;

s3:=0;

Edit2.Visible:=True;

Edit3.Visible:=True;

Edit5.Visible:=True;

GroupBox1.Visible:=True;

GroupBox3.Visible:=True;

GroupBox2.Visible:=True;

Button1.Visible:=True;

ComboBox1.Visible:=True;

end;
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

Var i,n,k:integer;

begin

StringGrid1.Visible:=True;

Label1.Visible:=True;

a:=StrToFloat(Edit2.Text);

b:=StrToFloat(Edit3.Text);

n:=StrToInt(Edit5.Text);

s1:=f(a);

s2:=(f(a)+f(b))/2;

s3:=(b-a)/n;

k:=1;

x:=a;

for i:=1 to n-1 do

begin

x:=x+h;

s1:=s1+f(x);

s2:=s2+f(x);

s3:=s3+(3+k)*f(x);

h:=(b-a)/n;

k:=-k;

end;

s1:=s1*h;

s2:=s2*h;

s3:=s3*h/3;

StringGrid1.Cells[0,1]:=FloatToStr(s1);

StringGrid1.Cells[1,1]:=FloatToStr(s2);

StringGrid1.Cells[2,1]:=FloatToStr(s3);

End;
procedure TForm1.N4Click(Sender: TObject);

begin

Close()

end;
procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

Edit2.Text:='0';

Edit3.Text:='1';

Edit5.Text:='1000';

StringGrid1.Cells[0,0]:=' Метод Прямокутників';

StringGrid1.Cells[1,0]:=' Метод Трапецій';

StringGrid1.Cells[2,0]:=' Метод Сімпсона';

end;
procedure TForm1.N5Click(Sender: TObject);

begin

Form2.Show;

end;

end.


Схожі:

Курсова робота iconПрограма, методичні вказівки та курсова робота з дисципліни
Програма, методичні вказівки та курсова робота з дисципліни “Виробництво виливків з сталі” для студентів заочної форми навчання за...
Курсова робота iconКурсова робота

Курсова робота iconКурсова робота з педагогіки

Курсова робота iconМетодичні вказівки щодо оформлення курсових та магістерських робіт для студентів факультету інформатики
За змістом курсова робота (КР) і магістерська робота (МР) повинна відпові­дати індивідуальному завданню на курсове (магістерське)...
Курсова робота iconКурсова робота Укладання трудового договору

Курсова робота iconІсторія зарубіжної науки про документ курсова робота

Курсова робота iconКурсова робота
Виконання договорів про перевезення вантажів с. 15-19
Курсова робота iconКурсова робота
Економічна сутність банківського обслуговування та критерії vip-клієнтів
Курсова робота iconКурсова робота
Проблема походження даніх слов'ян за відомостями античних і візантійських
Курсова робота iconКурсова робота
Ефективність соціального інвестування та сучасні методи його оцінки
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка