Керівнику закладу! На виконання листа хонмібо від 02. 09. 09. №952 «Про проведення Всеукраїнського турніру юних математиків»
 113.5 Kb.
|
Зміст Xii всеукраїнський турнір юних математиківБажаємо вам успішної підготовки до Турніру! Звіт про проведення І (міжшкільного) етапу Кількість учасників |
| Керівнику закладу! На виконання листа ХОНМІБО від 02.09.09. № 952 «Про проведення Всеукраїнського турніру юних математиків» повідомляємо, що проведення І(міжшкільного) етапу ХІІ Всеукраїнського турніру юних математиків планується 16.10.2009р. Завдання, запропоновані для проведення змагань, подано у додатку. Просимо опрацювати завдання та подати заявки для участі у ТЮМ до 01.10.09. (команда у складі 5 чоловік учнів 9-11 класів та керівник команди). За кількістю поданих заявок будуть визначені умови проведення турніру. Методист Мусікова І.І. Ладоня О.В. Додаток 1 до листа ХОНМІБО від «_02_» ____09____ 2009 р. № _952_ Міністерство освіти і науки України Інститут інноваційних технологій і змісту освіти XII ВСЕУКРАЇНСЬКИЙ ТУРНІР ЮНИХ МАТЕМАТИКІВ Завдання для відбірних етапів турніру Вельмишановні учасники Турніру! Задачі, що пропонуються нижче, досить складні, і не обов'язково повинні бути розв’язані повністю. Оцінюватися будуть і окремі часткові просування, розбір суттєвих окремих випадків тощо. У деяких ситуаціях вашій команді буде варто поставити і розв'язати аналогічну, але, можливо, більш просту задачу. Усе це с важливим елементом турнірної «боротьби», оскільки дає підстави для цікавих та корисних наукових дискусій. А задачі, які видаються занадто простими, варто спробувати узагальнити (тобто творчо ускладнити), і це буде неодмінно оцінено журі Турніру. Бажаємо вам успішної підготовки до Турніру! 1. «Степені двійки». Нехай ап — перша цифра десяткового запису числа 2", n є N. Визначте кількість одиниць серед 175, 1834, 2009 перших членів послідовності  (Київський національний університет імені Тараса Шевченка був заснований у 1834 році, і в 2009 році університет відзначає свій 175-річний ювілей.)
 *Для проведення шкільних, .районних, міських та обласних етапів турніру відповідні журі й оргкомітети можуть частково змінювати запропонований перелік задач.
a)  ділиться без остачі на 4;б)  ділиться без остачі на 5;в)  ділиться без остачі на 5.8.«Оцінки для послідовностей». Розглядаються всілякі числові послідовності додатних чисел  , що задовольняють нерівність  для всіх  0. Знайдіть найбільше M таке, щоб для кожної розглядуваної послідовності справджувалась нерівність  для всіх п  17.9.«Інтегральне рівняння». Знайдіть усі такі неперервні функції f : R —> R, що для всіх x  R і натуральних п2 виконується рівність  10. «Рівняння з параметрами». Дослідіть рівняння  (у залежності від значень параметрів a R і b R).11. «Перефарбування клітчастої дошки». Нехай p  qmn — задані натуральні числа. Візьмемо клітчасту дошку розміром т п, кожна клітинка якої є квадратом розміром 1x1, пофарбованим у білий колір. За один крок дозволяється обрати прямокутник розміром рq або qр та "інвертувати" кольори всіх його клітинок (тобто білі клітинки перефарбувати в чорний колір, а чорні клітинки — у білий). Дослідіть, які розфарбування нашої клітчастої дошки можна одержати в описаний спосіб.12. «Куб та площина». Нехай куб лежить по один бік відносно деякої площини. Доведіть, що набір з восьми чисел — відстаней від вершин куба до цієї площини — можна розбити на дві такі четвірки {a;b;c;d} і {e;f;g;h}, що a+b+c+d=e+f+g+h і а2 + b2 + с2 + d2 = е2 + f2 + g2 + h2 . Дослідіть питання щодо співвідношення між числами  і  для розглядуваних четвірок.
17. «Нерівності для площ». Дано трикутник ABC, усередині якого відмічено точку М. На сторонах ВС, СА й АВ обрано такі точки  і  відповідно, що  . Нехай S — площа трикутника ABC, QM — площа трикутника  а) Доведіть, що якщо трикутник ABC гострокутний, а М — точка перетину його висот, то 3Qm S. Чи існує таке число k > 0 що для будь-якого гострокутного трикутника ABC та точки М перетину його висот справджується нерівність QmkS?б) Для випадків, коли точка М — точка перетину медіан, центр вписаного кола, центр описаного кола, знайдіть найбільше  >0 і найменше к2 > 0 такі, що для довільного трикутника ABC має місце нерівність  k2S (для центра описаного кола розглядаються тільки гострокутні трикутники ABC).18. «Гра з числами». Нехай задано натуральне число п. Двоє гравців, Андрійко та Миколка, по черзі записують на дошці натуральні числа, кожне з яких не перевищує п, за такими правилами. Гру розпочинає Андрійко, записуючи число 1. Далі, якщо гравець, роблячи свій черговий хід, записав на дошці число k. то його суперник своїм ходом повинен записати одне з чисел k+1, 3k або 4k на свій вибір. Переможцем уважається той із гравців, який записав на дошці число п . Складіть алгоритм, який за даним числом n; визначатиме, хто з гравців може забезпечити собі перемогу в цій грі. Знайдіть усі такі натуральні n, які не перевищують 2009, і для яких виграшну стратегію має Миколка. Додаток 2 до листа ХОНМІБО від «_02_» ____09____ 2009 р. № 952 Звіт про проведення І (міжшкільного) етапу Всеукраїнського турніру юних математиків __________________ району (міста)
Інформація про команду, яка буде брати участь у фінальному етапі Всеукраїнського турніру юних математиків із зазначенням ПІБ учасників та керівника команди. * Для переможців необхідно вказати від якого навчального закладу виступала команда та ПІБ учасників команди та керівника команди. | |||||||||||||||||||||
(0;1). Дослідіть властивості таких функцій f:[0;l]—>R, що f (0) = f (1) = 0, і для будь-яких 
[0;1], y
- для всіх 
R.
(серед чисел у наборі можуть бути однакові) такі, що 0
; для всіх 
ділиться без остачі на 10. Скільки серед цих наборів таких, що містять хоча б одне число 100?
. Доведіть, що для всіх цілих 
таких, що 1
. Числові послідовності
, 
, ..., 
N існує рівно одна така пара натуральних чисел р
. Дослідіть умови існування таких послідовностей.
BSC=
, і двогранні кути при ребрах SA і SB мають величину 
i 
відповідно. Доведіть, що
.
, у послідовності Xп = 2009 
, п
, у якій кожен наступний член ділиться без остачі на попередній. Аналогічне питання дослідіть для послідовності Yn=
