Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Порівняння функцій та їх застосування




155.9 Kb.
НазваПорівняння функцій та їх застосування
Сторінка1/4
Дата конвертації09.10.2012
Розмір155.9 Kb.
ТипРеферат
Зміст
Порівняння функцій. обчислення границь
Порівняння функцій
Еквівалентні функції
Метод виділення головної частини функції і його застосування до обчислення границь.
  1   2   3   4
Реферат скачан с сайта allreferat.wow.ua


Порівняння функцій та їх застосування

Порівняння функцій та їх застосування


ЗМІСТ

Вступ 3

1. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ 4

§1. ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ 4

§2. ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ 9

§3. ЕКВІВАЛЕНТНІ ФУНКЦІЇ 18

§4. МЕТОД ВИДІЛЕННЯ ГОЛОВНОЇ ЧАСТИНИ ФУНКЦІЇ І ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ. 21

ВИСНОВОК 26


Вступ

Нехай дано множину Е дійсних чисел. Якщо кожному числу за певним законом поставлено у відповідність одне дійсне число y, то кажуть, що на множині Е задана (визначена) функція, і записують . При цьому x називають незалежною змінною, або аргументом, а y – залежною змінною, або функцією.

В цій роботі передбачається розглянути: О-символіку Ландау для функцій однієї змінної, заданої в проколотому околі довести ряд тверджень про арифметичні дії над О-символами та еквівалентними функціями; деякі важливі границі; способи порівняння функцій та ін.

Розглянути метод виділення головної частини функції в застосуванні до обчислення до границь. Теоретичні дослідження проілюструвати розв’язанням вправ


ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ. ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ

ДЕЯКІ ЧУДОВІ ГРАНИЦІ

В цьому пункті обчислюються границі, які неодноразово зустрічатимуться надалі.

Лема 1.

(1.1)

Доведення. Розглянемо круг радіусом R з центром в точці О. Нехай радіус 0В утворює кут , з радіусом ОА. З’єднаємо точки А і В відрізком і проведемо з точки А перпендикуляр до радіуса ОА до перетину в точці С з продовженням радіуса 0В (мал. 28). Тоді площа трикутника АОВ рівна , площа сектора AОB рівна а площа трикутника АОС рівна Трикутник АОВ є частиною сектора АОВ, який у свою чергу є частиною трикутника АОС; тому

звідки

отже,



або, замінюючи величини їм оберними

(1.2)

Зауважимо, що через парність функцій і нерівність (1.2) справедлива і при . Оскільки функція неперервна і , то з (1.2) при слідує рівність (1.1).

Наслідок 1.

(1.3)

Дійсно,





Наслідок 2.

(1.4)

Функція строго монотонна і неперервна на відрізку , тому обернена функція також строго монотонна і неперервна на відрізкуе . Оскільки , то записи і еквівалентні. Щоб обчислити границю (1.4), застосуємо правило заміни змінної для границю неперервних функцій. Поклавши , маємо



Наслідок 3.

(1.5)

Ця рівність випливає аналогічно попередній з (1.3).

Лема 2.

(1.6)

Рівність

(1.7)

де Звідси випливає, що для будь-якої послідовності натуральних чисел, такї, що

(1.8)

маємо

(1.9)

Дійсно, нехай задано ; з (1.7) випливає, що знайдеться таке що при

(1.10)

а з умови (1.8) випливає, що існує таке що при тому в силу (1.10)



при що і означає виконання рівності (1.9).

Нехай тепер послідовність така, що

тобто

(1.11)

Покажемо, що При цьому без обмеження спільності можна вважати, що Для довільного знайдеться таке натуральне що і, отже, причому в силу Тому маємо:

(1.12)

Наголошуючи, що в силу (1,9)



і



і переходячи до границю в нерівності (1.12) при , отримаємо



Оскільки —первісна послідовність, яка задовільняє умовам (1.11), то тим самим доведено, що

(1.13)

Нехай тепер послідовність така, що.



тобто,

(1.14)

Покладемо , тоді і при чому без обмеження спільності можна вважати, що Тоді



,

де

і

і через вже доведену рівність (1.13)



Але була довільною послідовністю, що задовольняє умовам (1.14), тому

(1.15)

Таким чином, функція має в точці О границі з ліва і права, рівні одному і тому ж числу е. Тому існує і її двостороння границя при , яка також рівна е.

Наслідок 1.

(1.16)

і, зокрема, при



Дійсно, використовуючи неперервність логарифмічної функції, неперервність суперпозиції функцій і рівність (1.6), отримаємо:



Наслідок 2.

(1.17)

Зокрема, якщо то

(1.І8)

Функція строго монотонна і неперервна на всій числовій осі, тому зворотна функція також строго монотонна і неперервна при . Оскільки при маємо також і , то позначення і еквівалентні. Застосуємо для обчислення границі (1.17) правило заміни змінної.

Поклавши , отримаємо



ПОРІВНЯННЯ ФУНКЦІЙ

Всі, що розглядаються в цьому пункті, функції визначені в деякому фіксованому проколотому околі точки розширеної числової прямої: при чому цей окіл може бути і одностороній. Тому кожного разу не буде сказано, що .

Як ми вже знаємо, сума, різниця і добуток нескінченно малих функцій є також нескінченно малими функціями; цього не можна, взагалі кажучи, сказати про їх подільність: ділення однієї нескінченно малої на іншу може призвести до різноманітних випадків, як це показують нижче проведені приклади нескінченно малих при функцій і .

Нехай, наприклад і тоді



Якщо ж то а якщо , то границя не існує.

Означення 1. Якщо для двох функцій f і g існують такі проколені околи і сталі , що для всіх виконується нерівність то функція f називається обмеженою порівнянно з функцією g на і позначається:



(читається: є велике від при , прямучому до ).

Наголосимо, що запис має тут інше, ніж звичайно, значення: він тільки вказує на те, що дана властивість має місце лише в деякому околі точки ні про яку межу тут мови немає.

Лема 3. Якщо і існує скінчена границя то

Доведення. З існування скінченої границі

,

слідує існування такого проколотого околу точки що функція на ній обмежена, тобто є така стала , що для всіх виконується нерівність а отже, і нерівність Це і означає, що , .

Приклади. при , або при ; при , або при . Запис при , означає, що функція обмежена в деякому околі точки наприклад при , або , і, значить, функція обмежена в околі точки

Означення 2. Якщо функції і такі, що і при , то вони називаються функціями одного порядку при , це записується у вигляді :



Це поняття найбільш змістовне у тому випадку, коли функції f і g є або нескінченно малими, або нескінченно великими при . Наприклад, функції і
  1   2   3   4

Схожі:

Порівняння функцій та їх застосування iconТема Теорія рекурсивних функцій та її застосування для встановлення нерозв`язності масових проблем
...
Порівняння функцій та їх застосування iconКурсова робота
Порівняння методів Сімпсона, прямокутників, трапецій при чисельному інтегруванні функцій”
Порівняння функцій та їх застосування iconПорівняння ефективності застосування інноваційних стратегій розвитку в різних країнах світу
У статті здійснено порівняння та аналіз особливостей інноваційних стратегій, які застосовуються в різних за рівнем економічного розвитку...
Порівняння функцій та їх застосування iconЗастосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку
У цьому параграфі наводимо без доведення дві теореми, які виражають істотні властивості, притаманні неперервним функціям. В дальшому...
Порівняння функцій та їх застосування iconСтупені порівняння прикметників
Мета: надати учням відомості про ступені порівняння прикметників та їх творення; удосконалювати вміння учнів розпізнавати ступені...
Порівняння функцій та їх застосування iconПорівняння дробів
Набути навичок застосування базових знань для розв’язування завдань в нестандартних ситуаціях
Порівняння функцій та їх застосування iconЛабораторна робота 2 оптимізація функцій методами нульового порядку мета роботи
Вивчення методів нульового порядку. Порівняння роботи алгоритмів на заданих функціях
Порівняння функцій та їх застосування iconДиференційованість елементарних функцій
У попередньому параграфі розглянуто правила обчислення похідних для функцій однієї змінної. Вони дозволяють знаходити похідні будь-яких...
Порівняння функцій та їх застосування iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій 1
Література
Порівняння функцій та їх застосування iconЗастосування таблиці ділення на 2 для розв’язування задач на ділення на рівні частини та ділення на вміщення. Порівняння задач
...
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка