Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Порівняння функцій та їх застосування




155.9 Kb.
НазваПорівняння функцій та їх застосування
Сторінка2/4
Дата конвертації09.10.2012
Розмір155.9 Kb.
ТипРеферат
1   2   3   4
є при нескінченно малими одного порядку, бо



Лема 4. Якщо існує скінчена межа , то

Доведення. Покладемо тоді і Отже з леми 3, при .

Оскільки існує такий проколений окіл точки ,що для всіх маємо , а отже, і Для покладемо тоді і . Тому, згідно леми 3

Наприклад візьмемо функцію і . Маємо (див. (1.1)), тому згідно доведеному, функції і одного порядку при .

Означення 3. Функціїи і називаються эквівалентними при , якщо в деякому проколеному околі точки визначена така функція , що

(1.20)

і

(1.21)

Відзначимо, що через властивість (1.21) знайдеться проколений окіл точки , у якій . Вважаючи бачимо, що умови (1.20) і (1.21) для вказаного проколеного околу рівносильні умовам



тобто як говорять, еквівалентність двох функцій має властивість симетричності.

Функції і , еквівалентні при , називаються також асимптотично рівними при Асимптотична рівність (еквівалентність) функцій позначається символом ~:

(1.22)

З сказаного вище слідує, що якщо при , то і при

Приклади. 1. при , Дійсно, припустивши , отримаємо:

*і

2. ~ при . Дійсно, якщо , то

і

Якщо в деякому проколеному околі точки справедливі нерівності то умови (1.20) і (1.21) еквівалентні співвідношенню



а, отже, й умові



Щоб в цьому переконатися, достатньо покласти тоді, очевидно, для функції виконуються умови (1.20) і (1.21).

Якщо

f~g і g~f при (1.23)

то

f~h при (1.24)

Дійсно, з умов (1.23) виходить, що в деякому проколеному околі точки



де і, отже

,

де , тобто виконується асимптотична рівність (1.24).

З результатів пункту 1.1 слідує, що при справедлива наступна еквівалентність нескінченно малих:



З цієї еквівалентності випливають і більш загальні співвідношення, які сформулюємо у вигляді окремої леми.

Лема 4. Якщо функція така, що

(1.25)

то при ,

(1.26)

Доведення. Покажемо, наприклад, що

(1.27)

Нехай функція визначена в деякому проколеному околі точки Покладемо (вважаючи що належить цоьму околі)

(1.28)

Покажемо, що

(1.29)

Нехай задано Оскільки



(тут u — незалежна змінна), існує таке число що при виконується нерівність



Для вказаного в силу (1.25) знайдеться таке число , що для всіх , задовольняючих умову , виконується нерівністьо Отже, якщо і , то



Інакше кажучи, якщо і , то

(1.30)

Якщо ж і , то згідно (1.28) маємо і, отже, нерівність (1.30) очевидно також виконується.

Рівність (1.29) доведена, а оскільки з (1.28) випливає, що для всіх , то доведена справедливість асимптотичної рівності (1.27). Аналогічно доводиться і решта асимптотичні формули (1.26).

Означення 4. Якщо в деякому проколеному околі точки де , то функція називається нескінченно малою в порівнянні з функцією при , пишеться , (читається: є о мале від при , прямучому до ).

Через це означення запис означає просто, що функція є нескінченно малою при ,

Якщо при , та умову



можна переписати у вигляді



Таким чином, під при розуміється будь-яка функція така, що



У випадку, коли нескінченно мала при то говорять, що при є нескінченно мала більш високого порядку, ніж

Наприклад, при , або



Так само і при

Відзначимо, що якщо то і при Дійсно, нехай , де . Тоді функція обмежена в деякому проколеному околі точки точки і, значить, в вказаному проколеному околі, а це означає, що , .

Збираючи разом введені в цьому пункті основні поняття, отримаємо: нехай в деякому проколеному околі Ů=Ů(x) точки



тоді

якщо функція обмежена на , то

якщо '

якщо

При використовуванні рівності з символами О і о слідує мати на увазі, що вони не є рівністю в звичайному значенні цього слова. Так, якщо



то було б помилкою зробити звідси висновок, що як це було б у разі звичайної рівності. Наприклад, і при , але . Аналогічно, якщо

при

то було б помилкою зробити висновок, що

Річ у тому, що один і той же символ або може позначати різні конкретні функції. Ця обставина зв'язана з тим, що при визначенні символів і ми по суті ввели цілі класи функцій, що володіють певними властивостями (клас функцій, обмежених в деякому околі точки в порівнянні з функцією і клас функцій, нескінченно малих в порівнянні з f(x) при ) і було б правильнішим писати не і , а відповідно і о . Проте це призвело б до істотного ускладнення обчислень з формулами, в яких зустрічаються символи О і о. Тому ми збережемо колишній запис і , але завжди читатимемо цю рівність, відповідно до приведених вище визначень, тільки в одну сторону: зліва направо (якщо, звичайно, не обумовлено що-небудь інше). Наприклад, запис означає, що функція є нескінченно малою в порівнянні з функцією f при але зовсім не те, що всяка нескінченно мала по порівнянню з f функція рівна .

Як приклад на поводження з цими символами доведемо рівність

1   2   3   4

Схожі:

Порівняння функцій та їх застосування iconТема Теорія рекурсивних функцій та її застосування для встановлення нерозв`язності масових проблем
...
Порівняння функцій та їх застосування iconКурсова робота
Порівняння методів Сімпсона, прямокутників, трапецій при чисельному інтегруванні функцій”
Порівняння функцій та їх застосування iconПорівняння ефективності застосування інноваційних стратегій розвитку в різних країнах світу
У статті здійснено порівняння та аналіз особливостей інноваційних стратегій, які застосовуються в різних за рівнем економічного розвитку...
Порівняння функцій та їх застосування iconЗастосування похідних до дослідження функцій § 1 Загальні властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку
У цьому параграфі наводимо без доведення дві теореми, які виражають істотні властивості, притаманні неперервним функціям. В дальшому...
Порівняння функцій та їх застосування iconСтупені порівняння прикметників
Мета: надати учням відомості про ступені порівняння прикметників та їх творення; удосконалювати вміння учнів розпізнавати ступені...
Порівняння функцій та їх застосування iconПорівняння дробів
Набути навичок застосування базових знань для розв’язування завдань в нестандартних ситуаціях
Порівняння функцій та їх застосування iconЛабораторна робота 2 оптимізація функцій методами нульового порядку мета роботи
Вивчення методів нульового порядку. Порівняння роботи алгоритмів на заданих функціях
Порівняння функцій та їх застосування iconДиференційованість елементарних функцій
У попередньому параграфі розглянуто правила обчислення похідних для функцій однієї змінної. Вони дозволяють знаходити похідні будь-яких...
Порівняння функцій та їх застосування iconЗміс т розділ 1 Застосування диференціального числення для дослідження функцій 1
Література
Порівняння функцій та їх застосування iconЗастосування таблиці ділення на 2 для розв’язування задач на ділення на рівні частини та ділення на вміщення. Порівняння задач
...
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка