Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Фінал ХІ всеукраїнського турніру юних математиків




164.37 Kb.
НазваФінал ХІ всеукраїнського турніру юних математиків
Сторінка1/4
Дата конвертації09.10.2012
Розмір164.37 Kb.
ТипДокументы
Зміст
Завдання фіналу ТЮМ-11
Трикутник і парабола
Розв’язання завдань фіналу
Перший випадок.
Трикутник і парабола
  1   2   3   4
Фінал ХІ Всеукраїнського турніру юних математиків

О.О.Курченко, І.М.Мітельман, К.В.Рабець, М.М.Рожкова, В.А.Ясінський

З 15 по 19 жовтня 2008року відповідно до Наказу №881 МОН України від 25.09.08 у місті Луцьк відбувся ХІ Всеукраїнський турнір юних математиків.

ТЮМ - 2008 було проведено відповідно до вимог «Положення про Всеукраїнські учнівські олімпіади з базових і спеціальних дисциплін, турніри, конкурси – захисти науково - дослідницьких робіт», затвердженого наказом Міністерства освіти України від 18.08.98 р. № 305 та згідно з «Правилами турніру юних математиків».

Напружена, цікава та змістовна боротьба у чверть- та півфінальних боях, що проходили по заздалегідь обумовлених задачах, визначила фіналістів тур­ніру, що мали змагатися за дипломи І-ІІ ступенів. Це − команди: Харківського НВК №45 «Академічна гімназія», Дніпропетровського обласного ліцею-ін­тернату фізико-математичного профілю, Рішельєвського ліцею Одеського на­ціонального університету імені І.Мечникова, збірна міст Луцька та Горохова.

Для фінального бою журі турніру запропонувало 13 завдань, з якими командам-фіналістам треба було впоратися за 4 години.

Завдання фіналу ТЮМ-11

1. "Оглядове колесо". Потрапивши у парк відпочинку, Миколка вирішив подивитися на Луцьк із оглядового колеса. О він сів у його 22 кабіну, проїхавши кілька обертів, вийшов, з’їв морозиво, і о знову сів, але вже в 4 кабіну. Зробивши оберт, вийшов, прогулявся і знову повернувся до колеса, сівши об у 25 кабіну. Скільки за цих умов могло бути кабін у оглядового колеса, якщо вони занумеровані по колу?

2. "Трикутник і парабола". На параболі взято точку . На цій параболі знайти всі точки В, для яких АВ не може бути гіпотенузою вписаного в неї трикутника.

3. "Інваріант". На дошці записано число 19981999…20072008. Його десятковий запис довільним чином розбивають на дві частини й додають утворені числа. З одержаним числом виконують аналогічну операцію, повторюючи її, поки не одержать одноцифрове число. Яке число можна одержати у такий спосіб?

4. "Пошук помилок". Вам запропоновано твердження та його доведення. Чи є вони правильними? Запропонуйте правильні варіанти.

Якщо центр кола, що проходить через середини трьох сторін трикутника, лежить на бісектрисі одного з його кутів, то трикутник – рівнобедрений.

Доведення. Позначимо через О – центр кола , що проходить через точки М, К, Р – середини сторін АВ, ВС,АС відповідно. Нехай О лежить на бісектрисі АЕ кута А; АЕ перетинає коло , описане навколо трикутника АМР, у точці Е. Тоді хорди і рівні, бо рівними є відповідні дуги. Крім того, ОМ=ОР як радіуси кола . Оскільки точки Е і О рівновіддалені від кінців відрізка , то пряма ОЕ, якій належить і точка А, є серединним перпендикуляром відрізка . Отже, АМ=АР і АВ=АС.

5. "Хитрий синус". Знайдіть знак числа .

6. "Незвична шахівниця". Нехай – опуклий чотирикутник; – парні натуральні числа. Сторони розділені на рівних частин, а – на рівних частин. Відповідні точки розбиття протилежних сторін з’єднані; утворені клітинки пофарбовані у жовтий та блакитний кольори у шаховому порядку. Доведіть, що суми площ жовтих і блакитних клітинок рівні.

7. "Паралелепіпед". У прямокутній декартовій системі задано прямокутний паралелепіпед. Координати чотирьох його вершин, що не лежать в одній площині, є цілими числами. Чи обов’язково цілими є координати решти його вершин?

8. "Тригонометричний вираз". Знайдіть множину значень виразу

в залежності від значень параметра , .

9. "Оцінка суми". Члени послідовності задані співвідношеннями:

, .

Доведіть, що сума обернених величин будь-яких із них не перевищує 1. Чи може мати місце рівність?

10. "Трикутник і два квадрати". Нехай на сторонах АВ і ВС трикутника АВС зовні нього побудовані квадрати ABFP i CBED; точки M i N – середини відрізків PD i AE відповідно. Доведіть, що M, N, В є вершинами рівнобедреного прямокутного трикутника (якщо вони не збігаються).

11. "Дробові частини". Знайдіть усі такі пари додатних раціональних чисел , що числа

та

є цілими.(Тут , а – найбільше ціле число, що не перевищує )

12. "Задача на побудову". Побудуйте гострокутний трикутник АВС за трьома відрізками: AL = la, AK = ha i AH, де Н – точка перетину висот цього трикутника.

13. "Рівняння з параметром". Знайдіть усі дійсні значення параметра а, при яких рівняння



має корені як більші, так і менші від .

Розв’язання завдань фіналу

1."Оглядове колесо". Нехай оглядове колесо обертається зі сталою кутовою швидкістю проти годинникової стрілки. Через позначимо число кабін оглядового колеса. Розглянемо два випадки: 1) кабіни занумеровані проти го­динникової стрілки; 2) нумерація кабін здійснена за годинниковою стрілкою.

Перший випадок. За 40 хвилин оглядове колесо зробило ціле число повних обертів, яке ми позначимо буквою та ще повернулося на кабін. За 60 хвилин воно зробило певне число повних обертів, яке ми позначимо через , та ще повернулося на кабін. Складаємо рівняння:





Отже, число є дільником числа 60 і не менше 25. Тому При можна покласти а при рівність справджується, наприклад, при

Другий випадок. За 40 хвилин оглядове колесо зробило ціле число повних обертів, яке ми позначимо буквою та ще повернулося на кабін. За 60 хвилин воно зробило певне число повних обертів, яке ми позначимо через , та ще повернулося на кабіни. Складаємо рівняння:





Отже, число є дільником числа 60 і не менше 25. Тому У першому випадку було показано, що могло бути як 30, так і 60 кабін.

Відповідь: 30 або 60 кабін.

2. "Трикутник і парабола". Проаналізуємо умову задачі: на параболі взято точку (рис.1). Нехай − шукана точка параболи, така, що не є гіпотенузою жодного трикутника, вписаного в параболу, тобто жодна точка не задовольняє рівність


Рис. 1
, або .

Отже, необхідно з’ясувати, при яких значеннях останнє рівняння не має розв’язків. Перетворимо його:



Скоротимо рівняння на , бо не є розв’язком (при точка С збігалася б із ):



.

Значення також не є коренем, бо тоді С збігалася б із . Таким чином, рівняння набуває вигляду .

Воно не має дійсних коренів, якщо дискримінант від’ємний, тобто

, або .

Розв’язки цієї нерівності, тобто значення і є абсцисами шуканої точки .

Відповідь: множиною точок параболи , для яких не може бути гіпотенузою вписаного в параболу трикутника є всі її точки з абсцисами.

3. "Інваріант". Нехай в результаті деякого розбиття числа 19981999…20072008 одержали числа і . Тоді після їх додавання маємо , а дане число мало вигляд . Розглянемо їх різницю: . Оскільки вона кратна 9, то початкове й одер­жане числа мають однакову остачу при діленні на 9. Отже, кожного разу, при виконанні вказаної операції ця остача не змінюватиметься. Вона є інваріантом. Дане число 19981999…200720081(), то ж одержати у такий спосіб можна лише 1.

4
Рис. 2
.
"Пошук помилок". Виконавши малюнок, уважно проаналізуємо запропоноване доведення і відмітимо його суттєвий момент – наявність неви родженого відрізка ОЕ (рис.2). У цьому випадку всі твердження доведення є правильними і висновок про рівнобедреність трикутника АВС правильний. Втім, можливим є ще один не розглянутий випадок: коли точки О і Е збігаються (рис. 3).

Т
Рис. 3
оді, оскільки кола U і U1 описані навколо рівних трикутників та зі спільною стороною , то вони мають однакові радіуси і симетричні відносно спільної хорди . Отже, з припущення, що точка (центр кола ) лежить на колі U1 , маємо, що центр кола U1 належить колу U. Позначимо його О1. Якщо , то і , бо . Отже, . Таким чином, наведене твердження неправильне.

Правильним є твердження: якщо центр кола, що проходить через сере­дини трьох сторін трикутника, лежить на бісектрисі одного з його кутів, то або трикутник рівнобедрений, або кут, на бісектрисі якого лежить центр даного кола, дорівнює (при цьому трикутник є прямокутним).
  1   2   3   4

Схожі:

Фінал ХІ всеукраїнського турніру юних математиків iconКерівнику закладу! На виконання листа хонмібо від 02. 09. 09. №952 «Про проведення Всеукраїнського турніру юних математиків»
На виконання листа хонмібо від 02. 09. 09. №952 «Про проведення Всеукраїнського турніру юних математиків» повідомляємо, що проведення...
Фінал ХІ всеукраїнського турніру юних математиків iconУмови проведення всеукраїнського турніру юних правознавців
Міністерства освіти України №305 від 18 серпня 1998 р. Правила турніру юних правознавців розробляються і затверджуються Організаційним...
Фінал ХІ всеукраїнського турніру юних математиків iconПереможці в особистій першості сьомого обласного турніру юних математиків

Фінал ХІ всеукраїнського турніру юних математиків iconДодаток №1 до наказу Департаменту освіти Харківської міської ради від 27. 08. 2012 №135 умови проведення
Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України від 22. 09. 2011 №1099, та Правилам проведення Всеукраїнського Турніру юних...
Фінал ХІ всеукраїнського турніру юних математиків iconЗадачі математичної олімпіади X всеукраїнського турніру юних математиків
Протягом календарного року заробітна плата щомісяця підвищувалась на одне і те ж число гривень. За червень, липень і серпень вона...
Фінал ХІ всеукраїнського турніру юних математиків iconЗавдання міжшкільного турніру юних математиків
Написали 99 чисел: 1, 2, 3, …, 98, 99. Скільки разів у записі зустрічається цифра 5?
Фінал ХІ всеукраїнського турніру юних математиків iconНаказ №327 Про підсумки фінального етапу XV всеукраїнського турніру юних математиків імені професора М. Й. Ядренка у 2012/2013 навчальному році
М. Й. Ядренка у 2012/2013 н р.» з 30 жовтня по 04 листопада 2012 року на базі комунальної обласної загальноосвітньої школи-інтернат...
Фінал ХІ всеукраїнського турніру юних математиків iconДодаток №1 до наказу Департаменту освіти Харківської міської ради від 05. 09. 2011 №129 умови проведення
Турніри, конкурси-захисти науково-дослідницьких робіт та конкурси фахової майстерності, затвердженого наказом Міністерства освіти...
Фінал ХІ всеукраїнського турніру юних математиків iconЗавдання VIII обласного турніру юних математиків 2012-2013 н р
П’ять нірок, де знаходиться рівно одна мишка, сполучені за схемою 1 – 2 – 3 – 4 – 5
Фінал ХІ всеукраїнського турніру юних математиків iconДодаток №1 до наказу управління освіти Департаменту з гуманітарних питань Харківської міської ради від "16" жовтня 2009 р. №135 умови проведення ІІІ міського турніру юних винахідників І раціоналізаторів серед учнів 9-11 класів загальноосвітніх навчальних
...
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка