Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 10 клас




116.95 Kb.
НазваЗавдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 10 клас
Сторінка1/3
Дата конвертації12.12.2012
Розмір116.95 Kb.
ТипДокументы
Зміст
На розв’язання відводиться 4 години
Умови задач першого туру
  1   2   3
Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики

10 клас


  1. Побудувати графік функції:

у =

  1. В коло з радіусом R вписано трикутник, вершини якого поділяють коло у відношенні 2:5:17. Знайти площу трикутника.

  2. Довести нерівність, якщо а:



  1. Вказати скільки розв’язків в залежності від параметра а має система рівнянь

х2 + у2 =а;

|х-2|+|у-2| =2


  1. Жук повзає по ребрах куба. Чи зможе він послідовно обійти всі ребра, проходячи по кожному ребру рівно один раз?



11 клас

  1. Побудувати графік функції

у = (сosx)0 ·


  1. При яких значеннях параметра а рівняння

х2 + (2а−1)х+а2−3а=0 має два різні додатні корені?


  1. Непаралельні сторони трапеції продовжені до взаємного перетину і через отриману точку перетину проведено пряму, паралельну основам трапеції. Знайти відрізок цієї прямої, обмежений продовженнями діагоналей, якщо основи трапеції а і в (а>b).

  2. Обчислити В = ху+2уz+3хz, якщо х>0, y>0, z>0.




  1. На колі розміщено 2n точок. За один хід гравцеві дозволяється зєднати довільні дві точки відрізком, який не перетинає відрізки проведені раніше. Програє той, хто не може зробити черговий хід. Хто з двох гравців (перший чи другий) може забезпечити собі виграш?


Кожна задача оцінюється у 7 балів

На розв’язання відводиться 4 години

ІІІ етап
Методика розв’язування нестандартних задач з математики

Практичне заняття – 2 год.
Мета: Ознайомлення вчителів з нестандартними методами розв’язування задач, з творчими нестандартними підходами до розв’язування олімпіадних задач.


Умови задач першого туру

10 клас

1. Розглянемо чотирицифрове число, а також число, записане тими ж цифрами у зворотному порядку. Яку найбільшу кількість цифр 5 може мати у своєму записі модуль різниці цих чисел?

2. Розв’яжіть рівняння





3. Всередині квадрата вибрано точку Квадрат образ квадрата при гомотетії з центром у точці та коефіцієнтом (точки є образами точок відповідно). Доведіть, що сума площ чотирикутників та дорівнює сумі чотирикутників та

4. Дійсні числа задовольняють умову



Доведіть, що одне з цих чисел є середнім арифметичним двох інших.

5. Вчителька розсадила за круглим столом своїх учнів, серед яких було втричі менше хлопчиків, ніж дівчаток. Виявилося, що серед усіх пар учнів, які сидять поруч, пар дітей одної статі у два рази більше, ніж пар дітей різної статі. При якій мінімальній кількості дітей за столом це могло трапитися?
11 клас

1. Знайдіть всі натуральні значення при яких виконується рівність

2. У кубі розміром зовнішній шар одиничних кубиків пофарбовано у жовтий колір, наступний шар, що дотикається до цього зовнішнього жовтого, фарбується у блакитний колір, наступний шар – знову у жовтий, і так далі. Знайти загальну кількість жовтих та блакитних кубиків.

3. Чотирикутник з перпендикулярними діагоналями вписаний в коло. Точки точки перетину висот трикутників відповідно. Довести, що чотирикутник рівний трикутнику

4. Натуральні числа такі, що число ділиться на 5. Доведіть, що число також ділиться на 5.

5. Знайдіть невід’ємні розв’язки системи рівнянь




Відповіді та вказівки до розв’язування задач
10.1. Три. Наприклад, Ясно, що п’ятірок не більше чотирьох. Але різниця а число 5555 на 9 не ділиться.

10.2. Помноживши ліву і праву частину рівняння на отримаємо

Можна також, виконавши спрощення лівої частини заданого рівняння, звести його до вигляду

10.3. Вказані чотирикутники є трапеціями з рівними відповідними основами. Позначимо довжини цих основ та Тому, враховуючи формулу площі трапеції: достатньо довести, що у названих парах таких трапецій суми висот є рівними. Неважко побачити, що вони дорівнюють

10.4. З умов задачі випливає, що Звідси отримуємо Оскільки то знаходимо Тоді з рівності будемо мати що й слід було довести.

10.5. При дванадцяти. Кількість пар сусідів дорівнює кількості учнів за столом. З умови задачі випливає, що з одного боку вона має ділитись на 3, а іншого боку – на 4, отже, не може бути меншою, ніж 12. Для трьох хлопчиків, два з яких сидять поруч, а третій окремо від них, і дев’яти дівчаток умова задачі виконується.
11.1. Якщо парне, то групуючи зліва доданки по два, починаючи з другого, переконуємося, що ліва частина від’ємна. Якщо ж непарне, то знову групуючи зліва доданки по два, але починаючи з першого, бачимо, що у кожній парі різниці дорівнюють відповідним доданкам правої частини. Звідси знаходимо

Можна було також порахувати суми зліва та справа за формулами для суми членів геометричної прогресії, отримавши

11.2. Жовтих 846, блакитних 485. Зовнішні шари кубів розмірами будуть блакитними. Кількості їх клітинок чисельно дорівнюють об’ємам відповідних шарів, які ще можна подати як різниці об’ємів відповідних кубів. Отже, остаточно отримуємо кількість блакитних клітинок Всі інші клітинок куба жовті.

11.3. Позначимо через точку перетину діагоналей та Оскільки висота трикутника лежить на прямій то на цій прямій лежатиме і точка перетину його висот. Проведемо через висоту цього трикутника. Тоді Отже, у трикутнику висота є ще й бісектрисою, а значить, і медіаною. Тому точка симетрична до відносно точки Аналогічно доводимо симетричність відносно пар точок та та та Отже, чотирикутники та рівні як симетричні відносно

11.4. Останні цифри чисел та повторюються з періодом 4. Для першого числа їх послідовність а для другого – При подільності на 5 отримуємо такі комбінації останніх цифр: Тоді для числа відповідні їм комбінації будуть такими: Отже, дане число також ділиться на 5.

Замість останніх цифр можна було розглядати також остачі від ділення чисел та на 5.

11.5. Запишемо перше рівняння даної системи у вигляді Оскільки не задовольняє його, то при звідси отримуємо, що Аналогічно з інших двох рівнянь знайдемо та Тому Далі з першого рівняння отримаємо Отже,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Завдання ІІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики
ІІ тур

10 клас
1. Многочлен з натуральними коефіцієнтами при деякому ненульовому цілому задовольняє умову . Показати, що для будь-якого раціонального ненульового .
  1   2   3

Схожі:

Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 10 клас iconЗавдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з географії 11 клас Примітка
Примітка: Журі II етапу олімпіади розробляє критерії оцінювання запропонованих завдань
Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 10 клас iconЗавдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з географії 10 клас Примітка
Примітка: Журі II етапу олімпіади розробляє критерії оцінювання запропонованих завдань
Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 10 клас iconЗавдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з географії 8 клас Примітка
Примітка: Журі II етапу олімпіади розробляє критерії оцінювання запропонованих завдань
Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 10 клас iconЗавдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з географії 7 клас Примітка
Примітка. Журі II етапу олімпіади розробляє критерії оцінювання запропонованих завдань
Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 10 клас iconЗавдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з географії 9 клас Примітка
Примітка: Журі II етапу олімпіади розробляє критерії оцінювання запропонованих завдань
Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 10 клас iconЗавдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 2010р. 6 клас
Одну із сторін прямокутника збільшили на 20%, а другу зменшили на 20%. Як і на скільки відсотків змінилась площа прямокутника?
Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 10 клас iconЗавдання ІІ го етапу(шкільного) Всеукраїнської олімпіади з математики. 6 клас
Як можна відміряти 9 хвилин за допомогою пісочних годинників на 5 хвилин та на 7 хвилин?
Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 10 клас iconРезультати ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з історії 10 листопада 2012 року
Знз І-ІІІ ступенів №2 ім. М. Горького пройшов ІІ етап Всеукраїнської олімпіади з історії. Всього учасників – 126 (в минулому році...
Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 10 клас iconЗавдання ІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики 6 клас
Учень написав на дошці приклад на множення двозначних чисел. Потім він усі цифри замінив літерами І отримав рівність: ab cd = mlnkt....
Завдання ІІ етапу Всеукраїнської олімпіади з математики 10 клас icon8-й клас Відповіді на завдання 2-го етапу Всеукраїнської олімпіади з географії
А. 53° та 44° пн ш.; Б. 22° та 40° сх д.; В. 51° та 40° пн ш; Г. 20° та 35° сх д
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка