Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Розподіл газових молекул за проекціями (напрямками) швидкостей




66.66 Kb.
НазваРозподіл газових молекул за проекціями (напрямками) швидкостей
Дата конвертації30.03.2013
Розмір66.66 Kb.
ТипДокументы

Розподіл газових молекул за проекціями (напрямками) швидкостей



Будемо вважати, що однорідний ідеальний газ перебуває у рівноважному стані при температурі . Нас цікавить кількість молекул газу , швидкості яких потрапляють в інтервал .


2_2.bmp
Із найзагальніших міркувань, від чого залежить ця кількість молекул ? Вона буде пропорційна величині вибраного інтервалу ; пропорційна кількості молекул у одиниці об’єму, тобто концентрації ; та залежить якимось чином від самої швидкості :

.

Чому вона залежить від швидкості ? При однакових інтервалах і концентрації , але різних швидкостях кількість молекул буде різною (приклад: в одному місті кількість людей віком від 25 до 30 років та від 80 до 85 років буде різною, хоч інтервал однаковий).

Який фізичний зміст отакої величини

.

Величина являє собою долю частинок в одиниці об’єму газу, швидкості яких потрапляють в інтервал , або імовірність потрапляння швидкості молекули в цей інтервал.

Ідеальний газ є ізотропним, тобто у всіх напрямках його властивості однакові. Отже, всі координатні осі рівноцінні, так само як і додатній і від’ємний напрямки. Тому, аналогічні проведеним міркуванням можна провести і для інших осей

;

.

Тепер давайте уважніше подивимось на функцію , яку ми потихеньку обминали. Переписавши ось у такому вигляді отримане рівняння

,

визначимо фізичний зміст цієї функції.

Функцію називають функцією розподілу молекул за швидкостями. Вона визначає частку молекул, швидкості яких потрапляють в одиничний інтервал швидкостей в околі значення швидкості .

Її також називають густиною імовірності, оскільки вона дорівнює імовірності того, що частка молекул (імовірність) потрапляють в одиничний інтервал швидкостей в околі значення швидкості .

Що буде, якщо вираз ми проінтегруємо по всіх інтервалах швидкостей ? Ми повинні отримати повну кількість молекул у одиниці об’єму

.

Це дає нам співвідношення

,

яке має назву умова нормування функції розподілу. Фізичний зміст умови нормування – потрапляння молекули хоч у який-небудь інтервал є стовідсотковою. Дивіться, молекула газу може набувати будь-якої швидкості від 0 до . Тому умова нормування виражає імовірність вірогідної події, тобто такої, що обов’язково відбудеться.

Тепер розглянемо кількість молекул , швидкість яких одночасно попадає у інтервали

;

;

.

Ця кількість навіть із загальних міркувань буде меншою, ніж будь-яке із чисел , оскільки при записі кожного із них на дві інших координати не накладалось обмеження.

Шукана кількість молекул має вигляд

.

Чому саме так ? – це імовірність трьох незалежних подій : потрапляння швидкості молекули в інтервали і , і , і . Ймовірності незалежних подій перемножуються, що ми й зробили.

Щоб знайти цю кількість молекул, треба знайти функцію розподілу у аналітичній формі.


2_3.bmp
Давайте зараз для більшої наочності трохи візуалізуємо картину. Якби молекула рухалась одновимірно, то її рух можна було б задати графічно у двох координатах. Для руху у двовимірному випадку таких координат буде вже 4, а у тривимірному – 6. Незручно.


2_4.bmp
Давайте припустимо, що у нас є газ, у якого ми знаємо швидкість кожної молекули у будь-який момент часу. Візьмемо довільну точку і з неї відкладемо всі відомі нам вектори швидкостей Будемо цікавитись лише точками, які є кінцями векторів швидкостей молекул газу. Простір, в якому знаходяться такі точки, будемо називати простором швидкостей.


2_5.bmp
Для визначення положення “швидкісних” точок введемо декартову систему координат із координатними осями для проекцій швидкостей . У такій системі радіус-вектор точки є вектором швидкості молекули, а координати – є проекціями її швидкості.

Ми шукаємо кількість молекул, швидкості яких містяться у виділеному елементарному об’ємі простору швидкостей . Тоді величина



є кількість молекул у одиниці об’єму, які попадають у об’єм швидкостей . За означенням, власне, це є густина швидкостей.

Давайте детальніше розглянемо властивості цієї густини. Ми записали її як функцію проекцій швидкості . Чи це так ?

Додатній і від’ємний напрямки координатних осей у газі абсолютно еквівалентні. Тому функція густини швидкостей може залежати лише від модуля швидкості, або, що теж саме, від суми квадратів компонент швидкостей. Оскільки газ ізотропний, густина буде залежати лише від відстані до початку координат вибраної системи відліку. У вибраній нами системі координат у просторі швидкостей відстань до початку координат і є модуль швидкості, отже

.

Тепер ми можемо записати таке рівняння

.

Такого роду рівняння мають назву функціональних. Вигляд функції невідомий. Але давайте поміркуємо так : якою повинна бути функція, щоб на вона точно дала б нульову кількість молекул ? Це якась експонента із від’ємним показником. То давайте ми запишемо функції розподілу у такому вигляді

;

;

.

Чому у нас весь час той же самий множник ? Газ ізотропний, всі напрямки є еквівалентними, а це означає, що й функція розподілу не залежить від напрямку.

Підставимо функції розподілу у вирази для кількості молекул, що попадають у інтервали

; ;

; ;

; ;

а також для кількості молекул, що попадають у ці інтервали швидкостей одночасно

.

Останнє можна переписати у вигляді

.

У отриманих виразах маємо дві невідомі величини і . Для їх визначення ми повинні знайти два незалежних рівняння. Одне з них проситься одразу – умова нормування

.

Нагадую, вона означає, що перебравши всі можливі інтервали швидкостей, ми переберемо і всі молекули у одиниці об’єму.

У якості другого рівняння давайте візьмемо умову, згідно якій ми вводили кінетичну температуру :

.

Перейдемо до проекцій швидкостей. Середні квадратичні швидкості складових рівні між собою через ізотропність газу, отже

.

З іншого боку, середнє значення квадрату проекції швидкості можна визначити як

.

Можна перейти до подвоєного інтеграла по тільки додатніх швидкостях, оскільки додатній і від’ємний напрямки еквівалентні.

Запишемо, щоб були перед очима, систему цих двох рівнянь

.

Підставимо в перше рівняння вираз для :

, або .

Запишіть кілька інтегралів, які нам будуть потрібні і сьогодні на лекції, і вдома. У курсі математичного аналізу точно визначаються значення цих інтегралів, ми ж не будемо витрачати на них часу, і скористаємось готовими результатами. Отже, інтеграл Пуассона та його модифікації

; ; ; ;
; ; .
Отже, отримаємо

, звідки .

Аналогічно підставимо в друге рівняння вираз для :

.

Скориставшись готовим розв’язком, отримаємо

, , .

Підставимо вираз для у останнє рівняння. Звідси

; .

Тепер можемо записати функції розподілу молекул за складовими швидкостей :

,

а через них і розподіл кількості молекул за швидкостями :

;

;

;


2_7.bmp
Тепер проаналізуємо отримані залежності і побудуємо графіки цих функцій. Побудуємо залежність від . Величина являє собою кількість молекул, що припадає на одиницю значення швидкості. Проінтегрувавши по всіх швидкостях (а це площа під кривою), отримаємо повну кількість молекул у одиниці об’єму (концентрацію).

Як себе поводить залежність від ? Функція симетрична : . При функція . Це слушно, оскільки стояти молекулі не дадуть сусіди. Похідна у точці . Можна переконатись, що це максимум. При залежність прямує до нуля. Нескінченність, а особливо у розумінні швидкості, не фізична, молекул з такою швидкістю не повинно бути. Отже, на графіку наведені залежності для кількох температур. Це типовий розподіл Гауса. При зменшенні температури крива звужується, площа під нею залишається сталою. А на що вона перетвориться при ? Вона виродиться у функцію, тобто

.

Фізичний зміст цього – при абсолютному нулі жодна молекула не рухається.

Давайте знайдемо середнє значення проекції швидкості, користуючись отриманим розподілом

Результат отримали повністю очікуваний. Оскільки рух молекул повністю хаотичний, проекції середньої швидкості дорівнюють нулю.

Отже, аналіз отриманих формул показав, що вони не суперечать здоровому глузду та експериментальним результатам.

Ми навели графіки для компоненти швидкості , але ж, звичайно, все це справедливо і для інших компонентів.

Що стосується кількості молекул, швидкості яких містяться у виділеному елементарному об’ємі простору швидкостей

, або

,

тобто густини швидкостей. Ця величина не залежить від напрямку вектора швидкості , тільки від її абсолютної величини. Отримані функції розподілу молекул за координатами швидкостей для неї не інформативні. Для неї треба знайти функцію розподілу за абсолютними значеннями швидкостей.

Схожі:

Розподіл газових молекул за проекціями (напрямками) швидкостей iconРозподіл молекул за абсолютними значеннями швидкості. Функція розподілу Максвелла
Тепер нас не цікавлять напрямки швидкостей. Будемо шукати імовірність того, що абсолютне значення швидкості знаходиться у межах
Розподіл газових молекул за проекціями (напрямками) швидкостей iconПрограма Н/к Основи мсс
Розподіл швидкостей в нескінченно малому об`ємі суцільного середовища, перша теорема Гельмгольця. Тензор швидкостей деформацій, фізичний...
Розподіл газових молекул за проекціями (напрямками) швидкостей iconРозподіл молекул у полі сил
Досі ми вважали, що у рівноважному стані внаслідок хаотичності руху молекул встановлюється однакова їх концентрація у різних елементах...
Розподіл газових молекул за проекціями (напрямками) швидкостей iconІІ. Молекулярна фізика І термодинаміка рівняння стану ідеального газу. Розподіл молекул газу за швидкостями Основні формули
У посудині об’ємом V = 0,02 м3 знаходиться кисень масою m = 0,15 кг при тиску р = 100 кПа. Визначити середню квадратичну швидкість...
Розподіл газових молекул за проекціями (напрямками) швидкостей iconМетодичні вказівки до оформлення дипломних проектів для студентів спеціальностей
Буріння нафтових і газових свердловин”; 090314 “Експлуатація газонафтопроводів і газонафтосховищ”; 090312 “Експлуатація нафтових...
Розподіл газових молекул за проекціями (напрямками) швидкостей iconПитання, які виносяться на екзамен Глибоке знання виділених питань та розв’язок задачі обов’язкові для претендентів на оцінку “відмінно”
Тиск газу з точки зору молекулярно-кінетичної теорії. Основне рівняння кінетичної теорії ідеального газу. Зв’язок між тиском газу...
Розподіл газових молекул за проекціями (напрямками) швидкостей iconНормальний розподіл (розподіл Гауса)
...
Розподіл газових молекул за проекціями (напрямками) швидкостей iconЕфективного діаметра молекул газів
Мета роботи: експериментально визначити коефіцієнт внутрішнього тертя, підрахувати середню довжину вільного пробігу й ефективний...
Розподіл газових молекул за проекціями (напрямками) швидкостей iconЗакону України «Про освіту»
Найбільшу зацікавленість юні дослідники та краєзнавці виявили до тем, рекомендованих напрямками «Із батьківської криниці», «З попелу...
Розподіл газових молекул за проекціями (напрямками) швидкостей iconЗадачи мкт (вмт 211) Скільки молекул знаходиться в 1 кг водню? 2
Знайти середню квадратичну швидкість руху молекул газу, який займає об’єм 5м3 під тиском 200кПа і має масу 6 кг
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка