Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Розв’язування стереометричних задач: вирази-ребуси




135.7 Kb.
НазваРозв’язування стереометричних задач: вирази-ребуси
Дата конвертації09.10.2012
Розмір135.7 Kb.
ТипДокументы
Зміст
Детальне усне пояснення
Висота належить бічній грані
Теорема косинусів
Відношення площ трикутників із спільною основою
Плоша ортогональної проекції многокутника
Cпільний гострий кут
Детальне усне пояснення
Детальне усне пояснення
Центральний кут
Детальне усне пояснення
Детальне усне пояснення
Детальне усне пояснення
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СТЕРЕОМЕТРИЧНИХ ЗАДАЧ:

ВИРАЗИ-РЕБУСИ

Зеленяк О.П., м. Олександрія

Математика в школах України. – 2009. – №22-24 (250-252). – С.-99-105.

МАТЕМАТИКА! ВСЕ для учителя. – 2011. – №2. – С.2-8.
Сучасні педагогічні технології вимагають від учителя пошуку нових форм роботи на уроці, спрямованих на підвищення його продуктивності, зацікавлення учнів предметом. Вчителі, які викладають геометрію в старших класах, знають як швидко збігають 45 хвилин уроку, як складно за обмежений час організувати ефективне повторення вивченого і розв’язування задач, не відокрем­лю­ючи штучно ці види роботи, а також повторення формул, теорем, співвідношень у конфігурації від процесу розв’язування. Чи потрібно учням записувати всі розв’язані на уроці задачі? Вважаємо, що ні. По-перше, багато посібників містять задачі з розв’язаннями, по-друге, виділяти потрібно базисні задачі, зразки тощо. Записувати розв’язування стандартних задач учням краще самостійно, навчаючись цьому, повторюючи індивідуально необхідні означення, теореми, формули. Взагалі, і класну дошку потрібно використовувати раціонально (”Злоупотребление” доской – одна из причин низкой эффектив­ности урока” [6, с.84]).

Найважливіше – активна позиція учня на уроці, участь у процесах пошуку та обговорення розв’язувань задач. Наш практичний досвід виявив ефективність окремих видів роботи на уроці геометрії, один з яких розглянемо в даній статті. Запиши вираз та обчисли його значення. Добуток чисел 2080 і 8 збільшити на їх частку. Ця вправа міститься в підручнику з математики для учнів 4 класу. Чому б не спробувати подібне на уроках геометрії в старших класах?

Отже, йтиметься про короткий запис розв’язку стереометричної задачі за допомогою виразу тоді, коли це можливо і методично доцільно.
До такої діяльності учнів потрібно готувати:

  1. читаючи і записуючи стандартні формули різними способами (наприклад, площа трапеції дорівнює півдобутку суми її основ на висоту, добутку суми основ на половину висоти, добутку суми половин основ на висоту), піфагорові трійки, основні співвідношення між елементами правильних многокутників та їх частини тощо [5];

  2. повторюючи важливі задачі-теореми стереометрії: якщо точка простору, що не належить площині многокутника, рівновіддалена від його вершин (сторін), то основа перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину многокутника співпадає з центром описаного навколо (вписаного в) нього кола.

  3. формулюючи властивості, співвідношення для різних стереометричних конфігурацій (наприклад, виділених задач-теорем 2) для пірамід) без малюнків на дошці (з використанням книг, таблиць, моделей, кодоскопа, комп’ютера, електронної дошки), поступово ускладнюючи вправи та зменшуючи наочність.

  4. розв’язуючи серії відповідних підготовчих вправ.

Так, перед знаходженням об'ємів пірамід повторити (використовуючи проектор, таблицю, вирази, які надруковані на листках або записані на дошці) деякі з наведених нижче вправ (№33 – №43 [1]).
33. За стороною основи a і бічним ребром b знайдіть об’єм правильної піраміди: 1) трикутної; 2) чо­ти­рикутної; 3) шестикутної.

1) ; 2) ; 3) .

4086 [3]. Дві правильні піраміди мають спільну основу. Всі плоскі кути при вершині однієї з цих пірамід дорівнюють по 60, а другої – по 90. Знайдіть відношення висот цих пірамід.



34. Сторона основи правильної шестикутної піраміди a, а двогранний кут при основі дорівнює 45º. Знайдіть об’єм піраміди.

.

35. Бічні ребра трикутної піраміди взаємно перпендикулярні і кожне дорівнює b. Знайдіть об’єм піраміди.

36. Знайдіть об’єм правильної трикутної піраміди, сторона основи якої a, а бічні ребра взаємно перпендикулярні.

№11.140 [2]. Знайдіть об’єм правильної трикутної піраміди, у якої плоский кут при вершині дорівнює 90º, а відстань між бічним ребром і протилежною стороною основи дорівнює d.



37. Знайдіть об’єм тетраедра, ребро якого дорівнює a.

38. Знайдіть об’єм октаедра, ребро якого дорівнює a.

. .

39. Основа піраміди – прямокутник із сторонами 9 м і 12 м, всі бічні ребра дорівнюють 12,5 м. Знайдіть об’єм піраміди.



40. Основа піраміди – рівнобедрений трикутник із сторонами 6 см, 6 см і 8 см. Всі бічні ребра дорівнюють 9 см. Знайдіть об’єм піраміди.

41. Одне ребро трикутної піраміди дорівнює 4 см, кожне з решти – 3 см. Знайдіть об’єм піраміди.

.

11.161 [2]. В трикутній піраміді дві бічні грані взаємно перпендикулярні. Площі цих граней дорівнюють P і Q, а довжина їх спільного ребра дорівнює a. Знайдіть об’єм піраміди.

4612 [3]. P і Q – площі двох граней тетраедра, a – довжина спільного ребра, α – двогран­ний кут між цими гранями. Знайдіть об’єм тетраедра.



42. В основі піраміди лежить прямокутник. Кожне бічне ребро піраміди дорівнює l і утворює з суміжними сторонами прямокутника кути α і β. Знайдіть об’єм піраміди.

.

43. Знайдіть об’єм піраміди, основа якої – трикутник з двома кутами α і β і радіусом описаного кола R. Бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом γ.



Детальне усне пояснення, наприклад, до останнього виразу може бути таким.

Площа основи піраміди дорівнює півдобутку сторін трикутника на синус кута між ними. Кожна із цих сторін дорівнює добутку діаметра 2R описаного кола на синус відповідного протилежного кута α або β, а кут між ними обчислюється за теоремою про суму кутів трикутника і дорівнює 180º – (α + β). Висота піраміди є катетом прямокутного трикутника, гіпотенуза якого – бічне ребро, а інший катет – проекція цього ребра на площину основи. Отже, висота дорівнює добутку радіуса описаного кола R на тангенс кута γ, який бічне ребро піраміди утворює з площиною основи.

Наведемо приклади виразів-ребусів, у процесі “відгадування” яких використовуємо вказівки трьох рівнів. Вказівкою  може бути назва ребуса, вказівкою  – малюнок або його частина, вказівкою  – пояснення, або ж розв’язання задачі. Демонструвати їх ефективніше за допомогою проекційної техніки, електронної дошки, комп’ютера (програмні середовища: DG, GRAN, Power Point, Word, Excel, ASDSee тощо). Браузер ASDSee дозволяє послідовно демонструвати слайди. За допомогою спеціалізованого програмного засобу DG можна додатково виконати всі необхідні побудови та демонстрацію вказівок (кнопки для створення інтерактивних рисунків і гіперпосилань, покрокове відтворення побудови тощо).


  1. №11.156 [2]. Довести, що об’єм прямої призми, основа якої трапеція, дорівнює добутку середнього арифметичного площ паралельних бічних граней на відстань між ними.



. Перегрупування множників. . Паралельні бічні грані – прямокутники. . Висота трапеції є відстанню між паралельними бічними гранями призми.

  1. №11.173 [2]. Кулю радіуса R вписано в правильну шестикутну призму. Знайдіть площу повної поверхні призми.



. Правильний шестикутник. . Висота призми є діаметром вписаного в основу кола. . Поло­вина сто­рони основи враз менше радіуса R.

  1. №11.175 [2]. Кулю вписано в прямий паралелепіпед, у якого діаго­налі основи дорівнюють a і b. Знайдіть площу повної поверхні паралелепіпеда.



. Основа – ромб. . Діаметр кулі є висотою ромба і прямокутників. . Формула для знаход­ження висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи.

  1. №11.131 [2]. В основі похилої призми лежить правильний трикутник із стороною a. Одна з бічних граней призми перпендикулярна до площини основи і є ромб із діагоналлю b. Знайдіть об’єм призми.



. Висота належить бічній грані. . Висота ромба дорівнює діаметру вписаного в нього кола. . Фор­мула для знаходження висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи.

  1. №12.380 [2]. Основа прямої призми – прямокутний трикутник, у якого один з гострих кутів дорівнює α. Найбільша за площею бічна грань призми – квадрат. Знайдіть кут між діагоналями, які перетинаються і належать двом іншим бічним граням.



. Теорема косинусів. . 1 – довжина гіпотенузи і висота призми. . Шуканий кут лежить між діагоналями-сторонами, квадрати яких визначаються за теоремою Піфагора.

  1. №12.210 [2]. Основа прямої призми – рівнобедрений трикутник із основою a і гострим кутом при основі α. Знайдіть об’єм призми, якщо її бічна поверхня дорівнює сумі площ основ.



. Перетворення формули. . Виключити висоту призми з формули для обчислення об’єму. . Шукана величина – відношення квадрата площі основи до її півпериметра.

  1. №11.106 [2]. Сторона основи правильної шестикутної піраміди дорівнює a. Знайдіть об’єм піраміди, якщо її бічна поверхня в 10 раз більше площі основ.



. Відношення площ трикутників із спільною основою. . Площа бічної грані в 10 раз більше площі правильного трикутника, отже відношення апофеми до висоти правильного трикутника 10 : 1. . Відношення висоти піраміди до висоти правильного трикутника (тангенс гострого кута) дорівнює: 1.


  1. №12.227 [2]. Основа піраміди – рівнобедрена трапеція, у якої бічна сторона дорівнює a і гострий кут α. Всі бічні грані утворюють з основою піраміди кут β. Знайдіть повну поверхню піраміди.



. Плоша ортогональної проекції многокутника. . Властивість описаного чотирикутника. . Основа висоти піраміди – центр вписаного в трапецію кола.

  1. №710 [4]. Визначте об’єм правильної трикутної піраміди, у якої бічне ребро l, а основа і переріз, що проходить через бічне ребро і апофему протилежної бічної грані рівновеликі.

.

. Трикутник з кутами 90º і 60º. . Висота піраміди дорівнює стороні основи. . Бічне ребро піраміди утворює з площиною основи кут 60º.

  1. №11.119 [2]. Сторона основи правильної трикутної піраміди дорівнює а, а висота, опущена з вершини основи на протилежну їй бічну грань, дорівнює b. Знайдіть об’єм піраміди.



. Cпільний гострий кут. . Висота піраміди дорівнює добутку радіуса вписаного в основу кола на тангенс спільного кута двох прямокутних трикутників. . Тангенс спільного кута визна­чається з прямокутного трикутника із катетом b і гіпотенузою, що є висотою основи піраміди.

Можливі варіанти “відгадування” ребусів 11 – 15 розглянемо з демонстрацією вказівок (вико­рис­то­­вується пакет динамічної геометрії DG) і детальними усними поясненнями.

  1. №709 [4]. Довжина бічного ребра піраміди 65. Її основа – трапеція, у якої довжини сторін 14, 30, 50, 30. Знайти об’єм піраміди.



. Єгипетські трикутники. . Бічна сторона даної трапеції перпендикулярна до її діагоналі. . Ос­но­ва висоти піраміди – центр описаного навколо трапеції кола – середина більшої її основи.



Детальне усне пояснення. Відрізки більшої основи трапеції дорівнюють 18 і 32. Використовуючи піфагорову трійку 3, 4, 5 з коефіцієнтами 6, 8 і 10 послідовно знаходимо висоту трапеції (24), її діагональ (40) і робимо висновок, що остання перпендикулярна до бічної сторони за теоремою оберненою до теореми Піфагора. Основа висоти даної піраміди – центр описаного навколо трапеції кола. Це середина гіпотенузи, тобто більшої основи трапеції, а радіус дорівнює 50 : 2. Площа трапеції дорівнює добутку суми основ на половину її висоти. Висота піраміди обчислюється як невідомий катет за теоремою Піфагора.

  1. №11.187 [2]. Обчислити поверхню кулі, вписаної в трикутну піраміду всі ребра якої дорівнюють a.


. Властивість бісектриси. . Малюнок перерізу піраміди. . Радіус – четверта частина висоти піраміди.


Детальне усне пояснення. Радіус вписаної кулі дорівнює радіусу кола, вписаного в рівнобедрений трикутник. Його основа – бічне ребро, а рівні сторони – апофема і висота основи піраміди. Центр кола – точка перетину висоти піраміди і бісектриси кута при вершині вказаного трикутника. За властивістю бісектриси відношення відрізків висоти дорівнює відношенню апофеми до її проекції, яка дорівнює третій частині висоти основи і третій частині апофеми, тобто . Отже, шуканий радіус дорівнює четвертій частині висоти даної піраміди. Остання обчислюється як невідомий катет за теоремою Піфагора.


  1. №12.226 [2]. В основі трикутної піраміди лежить рівнобедрений трикутник, у якого площа дорівнює S, а кут при вершині дорівнює α. Знайдіть об’єм піраміди, якщо кут між бічним ребром і висотою піраміди дорівнює β.



. Центральний кут. . Висота піраміди дорівнює добутку радіуса описаного кола на котангенс даного кута β. . Квадрат радіуса описаного навколо основи кола виразити через S.


Детальне усне пояснення. З умови випливає, що кути нахилу бічних ребер до площини основи піраміди рівні. Отже, висота піраміди дорівнює добутку радіуса R описаного кола (проміжна величина) на котангенс даного кута β. Розглянемо частину основи – прямокутний трикутник з гіпотенузою R. Його гострий кут дорівнює α за теоремою про вписаний і центральний кут, а катети відповідно R sin α і R cos α. Звідси площа основи піраміди дорівнює R sin α (R cos α + R). Маємо рівняння R2 sin α (cos α + 1) = S, з якого радіус вира­жено через дану величину S.


  1. №11.213 [2]. Обчислити об’єм трикутної піраміди, у якої два протилежних ребра дорівнюють 4 і 12, а кожне з інших ребер дорівнює 7.



. Спільний відрізок. . Відношення площ перерізу та основи дорівнює відношенню висоти піраміди до найменшого її ребра. . Переріз – рівнобедрений тупокутний трикутник, основа якого дорівнює 12, а квадрат бічної сторони дорівнює 45. Примітка: вказівкою перетворювати формулу для учнів є також те, що наведений вираз містить лише один знак .


Детальне усне пояснення (до першого виразу). Всі грані піраміди – рівнобедрені трикутники. Переріз її площиною симетрії, яка проходить через середину найменшого ребра та найбільше ребро – тупокутний рівно­бед­ре­ний трикутник, квадрат бічної сторони якого дорівнює 45 (144 > 45 + 45). Відношення площ перерізу та основи дорівнює відношенню висоти піраміди до найменшого ребра, тому що висота основи піраміди є основою трикутника-перерізу. Звідси висота піраміди дорівнює добутку вказаного ребра на відношення площ, в знаменнику якого площа основи піраміди. Отже, після запису формули для об’єму піраміди і скорочення вираз буде містити площу перерізу, довжину найменшого ребра і коефіцієнт 1/3.


  1. №12.374 [2]. Відрізок прямої, який сполучає центр основи правильної трикутної піраміди з серединою бічного ребра, дорівнює стороні основи. Знайти косинус кута між суміжними бічними гранями.



. Відношення 1 : 2 (сторона основи – половина бічного ребра). . Подібність прямокутних трикутників, що мають спільний гострий кут. . Обчислити синус половини шуканого кута.



Детальне усне пояснення. Даний відрізок a – медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи. Отже гіпотенуза, бічне ребро, дорівнює 2a і прямокутні трикутники, що мають спільний гострий кут, подібні з коефіцієнтом 2 (бічне ребро і сторона основи – відповідні сторони). Звідси знаходимо, що відповідний катет меншого трикутника дорівнює a/4. Другий катет цього ж трикут­ника обчислюєть­ся за теоремою Піфагора і є гіпотенузою прямокутного трикутника, гострий кут якого – половина шуканого. Тому знайдемо синус вказаного гострого кута, а потім косинус за формулою косинуса подвійного кута.

Завершуючи статтю завданнями зовнішнього незалежного оцінювання з стереометрії за останні три роки, пропонуємо читачам журналу проаналізувати їх ще раз під специфічним “ребусним” кутом, оцінюючи складність та діагностичний потенціал.
Завдання 37 (ЗНО-2006). Основою чотирикутної піраміди PABCD є квадрат ABCD. Ребро BP перпен­дикулярне до площини основи піраміди. Точка K – середина ребра PC. Площина BKD утворює з площиною основи піраміди кут α. Знайдіть площу трикутника BKD, якщо довжина ребра BP дорівнює h.

Завдання 36 (ЗНО-2007). У правильній чотирикутній піраміді SABCD бічне ребро вдвічі більше сторони основи. Знайдіть кут між медіаною трикутника SCD, проведеною з вершини D, та середньою лінією трикутника ASC, що паралельна основі піраміди.

Завдання 34 (ЗНО-2008). У правильній трикутній піраміді SABC бічне ребро вдвічі більше за сторону основи. Точки K і L є серединами ребер AC і BC відповідно. Через пряму KL, паралельно до ребра SC, проведено площину α. Знайдіть кут між площинами α і ABC.


1 спосіб.



2 спосіб


Зробимо деякі висновки.

Сприймання інформації про об’єкт є дискретним, а результат – цілісний образ цього об’єкта. Розглянуті вправи допомагають учням сприймати геометричні об’єкти як цілісні з існуючими залежностями і співвідношеннями між елементами. Окрім того, врахуємо важливість використання обернених задач у процесі навчання і те, що геометрія є джерелом функціональних залежностей та математичних моделей.

Періодична робота учнів з відповідними вправами сприяє розвитку їх просторової уяви та геометричної мови, формуванню навичок опрацювання формул і підвищенню алгоритмічної культури, швидкому і ефективному повторенню. Вони впевнюються в необхідності запам’ятовування формул і властивостей геометричних фігур. При цьому за рахунок наявності елементів гри стимулюється внутрішня емоційно-інтелектуальна зацікавленість до вивчення геометрії.

Складання ребусів – чудові вправи і для домашньої роботи. Можна вважати, що учні, які успішно виконують таку роботу, непогано засвоїли шкільний курс геометрії.

Література:

  1. О.В. Погорєлов. Геометрія 10-11. – 5-е видання. – К.: Освіта, 2001.

  2. В.К. Егерев и др. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Учебн. пособие / Под ред. М.И. Сканави. – K.: Каннон, 1997. – 528 с.

  3. Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К. Сборник задач по геометрии. 5000 задач с ответами. – М.: ООО “АстрельАСТ”, 2001. – 400 с., ил.

  4. Лоповок Л.М. Збірник задач з геометрії для 10-11 класів. – К.: Освіта, 1998. – 160 с.

  5. Зеленяк О.П. Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирование в среде Turbo Pascal. – СПб.: ДиаСофтЮП, М.: ДМК Пресс, 2008. – 330 с.

  6. Орач Б.Г. Некоторые приемы повышения эффективности уроков математики // Конференція Соросівських учителів. – К.: Міжнародний фонд Відродження, ISSEP, 1995. – 376 с.

Схожі:

Розв’язування стереометричних задач: вирази-ребуси iconРозв'язування стереометричних задач: спільна конфігурація
Пропонована стаття є продовженням роботи [3], у якій описано один з ефективних методів заключного повторення та систематизації вивченого...
Розв’язування стереометричних задач: вирази-ребуси iconУрок №45 Тема. Пряма пропорційна залежність. Розв'язування задач на пропорційний поділ
Мета: продовжити роботу з формування вмінь складати пропорції для розв'язування задач на пряму пропорційну залежність величин; вдо­сконалювати...
Розв’язування стереометричних задач: вирази-ребуси iconЗастосування розв’язування трикутників у прикладних задачах
Мета уроку: Формувати вміння учнів у застосуванні знань розв’язування трикутників до розв’язування прикладних задач. Розвивати у...
Розв’язування стереометричних задач: вирази-ребуси iconРозв'язування задач з фізичної географії (7 (8) клас) Марія Галаджій
Вирішити це питання дозволить спецкурс „Розв'язування задач з фізичної географії. 7 (8) клас”. Програма курсу дає можливість поглибити...
Розв’язування стереометричних задач: вирази-ребуси iconВолинської області
У посібнику розглядаються основні способи розв’язування задач на ігри двох осіб, наведені приклади розв’язування таких задач
Розв’язування стереометричних задач: вирази-ребуси iconОзнайомлення з дією ділення. Знак ділення. Розв'язування задач
Мета: ознайомити дітей з поняттям «ділення», вчити учнів читати, записувати і розв’язувати вирази на ділення, розвивати обчислювальні...
Розв’язування стереометричних задач: вирази-ребуси iconРозв’язування задач з використанням циклічних операторів
Мета: створити умови для формування навичок розв’язування найпростіших задач, що містять цикли, використовуючи різні команди повторення;...
Розв’язування стереометричних задач: вирази-ребуси iconДата уроку Примітки Тема Лінійні рівняння з однією змінною (10 год) 1 Рівняння. Корені рівняння. Розв’язування рівнянь
Розв’язування задач і вправ. Самостійна робота по розв’язуванню задач за допомогою лінійних рівнянь
Розв’язування стереометричних задач: вирази-ребуси iconМодуль Розв’язування задач (тіло на похилій площині)
Мета: закріпити знання вивченого раніше матеріалу, навчити учнів застосовувати набуті знання під час розв’язування задач
Розв’язування стереометричних задач: вирази-ребуси icon9-й клас. Геометрія
Розв'язує трикутники. Застосовує алгоритми розв'язування трикутників до розв'язування прикладних задач
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка