Пошук навчальних матеріалів по назві і опису в нашій базі:

Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку




78.07 Kb.
НазваДиференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку
Дата конвертації23.04.2013
Розмір78.07 Kb.
ТипДокументы
Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку

У загальному випадку ДР другого порядку має вигляд

F(x, y, y, y) = 0. (23)

ДР другого порядку, розв’язане відносно старшої похідної —

y= f(x, y, y).

Загальний розв’язок рівняння містить дві довільні сталі С1 та С2 і має вигляд

у = (х1, С1, С2).

За рахунок вибору довільних сталих С1, С2 можна розв’язати задачу Коші, яка полягає в знаходженні частинного розв’язку у = у(х) ДР, що задовольняє початкові умови

у(х0) = у0, у(х0) = у0.

Для ДР другого порядку часто на практиці зустрічаються крайові задачі, коли умови на розв’язок задаються при різних значеннях аргументу.

Розглянемо прості випадки, коли вдається знизити порядок ДР другого порядку і звести його до ДР першого порядку.

У диференціальному рівнянні відсутня шукана функція у(х)

ДР виду (23) не містить шуканої функції у. Отже, можна знизити порядок рівняння, узявши

y = z, y = z.

При цьому дістанемо ДР першого порядку

F(x, z, z) = 0.

Якщо буде знайдено загальний розв’язок цього рівняння z = z(x, C1), то знайдемо і розв’язок ДР (23):

у = z(x, C1)dx + C2.
Знайдемо розв’язок ДР у + у = 0.

 Беручи у = z, у = z, знижуємо порядок ДР і приходимо до ДР першого порядку z + z = 0.

Знаходимо розв’язок ДР першого порядку: , ,

Інтегруючи z, знаходимо загальний розв’язок ДР другого порядку

.
Диференціальне рівняння не містить явно аргументу

Порядок ДР

F(y, y, y) = 0

можна знизити, якщо за нову незалежну змінну взяти у, а за шукану залежну змінну: z = y. Маємо:



Початкове ДР другого порядку зводиться до ДР першого порядку



Якщо буде знайдено розв’язок цього рівняння z = z(y, C1), то для відшукання загального розв’язку початкового ДР дістанемо рівняння



Знайдемо загальний розв’язок ДР другого порядку

у + 2у = 0,  = const.

Беручи у = z, дістаємо і приходимо до ДР першого порядку:



Визначаємо змінну і для відшукання у приходимо до ДР першого порядку



Остаточно знаходимо загальний розв’язок початкового ДР



який можна записати також у вигляді

у = Аsin (x – x0), A = const, x0 = const.

Рівняння виду у''' = f(х). Розв'зок цього рівняння знаходять n-кратним інтегруванням , а саме:



де



Так як -є константами, то загальний розв'язок можна записати:

Приклад Знайти частинний розв'язок рівняння у " = хе-х, що задовольняють початковим умовам у(0)=1 у ' (0) = 0.
Знайдемо загальний розв'язок послідовним інтегруванням данного рівняння:

або


Скористуємося початковими умовами:
1 = 2+С2; С2 = - 1; 0 = - С1 ; С1= 1
Шуканий частинний розв'язок має вигляд

Цей же розв'язок можно знайти й наступним чином, використовуючи початкові умови:

3. Диференціальні рівняння виду F(x,у(k), у(k+1) , у(n))=0 що не мають шуканої функції. Порядок такого рівняння можно знизити , якщо взяти заміну у(k) = t. Отримаємо рівняння

F(x,z' . . . ., z(n-k))=0. Таким чином, порядок рівняння знижується на k одиниць.

Приклад Знайти загальний розв'язок рівняння ху'' = у ' ln (у'/х).
Нехай у ' =z, тоді равнение к виду
хz' =zln(z/х), або z'=(z/х)ln(z/х).
Це однорідне рівняння першого порядку.
Візьмемо
z/х =t, z =tх, z' = t'х+t,
отримаємо рівняння
або
інтегруя, знаходимо


Маємо t= ; переходячи до змінної у, приходимо до рівняння y'= .
З цього маємо


Схожі:

Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку icon«Диференціальні рівняння, що допускають зниження порядку» для студентів інженерних спеціальностей
Методичні вказівки до самостійної роботи з дисципліни «Вища математика» на тему «Диференціальні рівняння, що допускають зниження...
Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку iconЗмістовий модуль 11 звичайні диференціальні рівняння тема 11 Основні відомості про диференціальні рівняння
Лндр другого порядку зі сталими коефіцієнтами І право частиною спеціального вигляду
Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку iconДиференціальні рівняння першого порядку, диференціальні рівняння вищого порядку, лінійні диференціальні рівняння, системи диференціальних рівнянь
Наведемо декілька основних визначень теорії диференціальних рівнянь, що будуть використовуватися надалі
Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку iconРозділ Диференціальні рівняння вищих порядків
Основні поняття та означення. Динамічна інтерпретація диференціальних рівняння другого порядку. Консервативні системи
Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку iconПоверхні другого порядку
Поверхнею другого порядку називається множина точок, прямокутні координати яких задовольняють рівняння виду
Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку iconАлгебраїчні криві другого порядку
Алгебраїчною кривою другого порядку наз крива Г, рівняння якої в декартовій системі координат має вигляд:(1)
Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку iconВища математика
Лінії другого порядку на площині. Рівняння (2), яке приведено спочатку розділу 2, описує (в залежності від коефіцієнтів) відомі криві...
Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку iconЛекція 2 Розділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв’язані
Означення Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння 1 називається порядком диференціального рівняння
Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку iconТип модуля: обов’язковий Семестр: II обсяг модуля
Числові ряди та їх властивості. Знакозмінні ряди. Знакопочережні ряди. Функціональні ряди та рівномірна збіжність. Степеневі ряди...
Диференціальні рівняння другого порядку, які допускають зниження порядку iconРозділ Диференціальні рівняння першого порядку, розв'язані відносно похідної
Означення Найбільший порядок похідної, яка входить в диференціальне рівняння 1 називається порядком диференціального рівняння
Додайте кнопку на своєму сайті:
ua.convdocs.org


База даних захищена авторським правом ©ua.convdocs.org 2014
звернутися до адміністрації
ua.convdocs.org
Реферати
Автореферати
Методички
Документи
Випадковий документ

опубликовать
Головна сторінка